Subgroups — C₂²×#2221 #7622985

Order 512.

2026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 261 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2221	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#368	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
8	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×D₁₆	—	2	1	no	—
11	C₂²×D₁₆	—	2	1	no	—
12	C₂²×D₁₆	—	2	6	no	—
13	C₂²×D₁₆	C₂²	1	12	yes	complemented
14	C₂×#504	—	2	6	no	—
15	C₂×#504	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂²×M₃₂	—	2	1	no	—
17	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₁₆	—	2	1	no	—
19	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#472	—	2	12	no	—
21	C₂×#472	C₂²	1	24	yes	complemented
22	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#100	—	2	2	no	—
24	#2221	C₂²	1	64	yes	direct product factor
25	C₂×#368	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂×#361	C₂²	1	24	yes	complemented
27	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
29	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
30	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	12	no	—
31	C₂²×SD₁₆	—	4	2	no	—
32	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₈	—	2	6	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	6	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	6	no	—
37	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
38	C₂²×D₈	C₂³	1	12	yes	—
39	C₂×#131	—	2	3	no	—
40	C₂×#131	—	2	3	no	—
41	C₂×#131	D₄	1	6	yes	—
42	C₂×#131	C₂³	1	6	yes	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×D₁₆	—	2	12	no	—
49	C₂×D₁₆	—	2	12	no	—
50	C₂×D₁₆	—	2	24	no	—
51	C₂×D₁₆	C₂³	1	16	yes	complemented
52	#504	—	2	24	no	—
53	#504	C₂³	1	16	yes	complemented
54	C₂×M₃₂	—	2	3	no	—
55	C₂×M₃₂	—	2	12	no	—
56	C₂×M₃₂	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₁₆	—	2	12	no	—
59	C₂²×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	D₄	1	6	yes	—
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	6	yes	—
63	#472	—	2	48	no	—
64	#472	C₂³	1	32	yes	complemented
65	C₂×#108	—	2	6	no	—
66	C₂×#108	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂×#100	—	2	24	no	—
68	#368	C₂³	1	16	yes	complemented
69	#361	C₂³	1	32	yes	complemented
70	C₂⁵	—	4	2	no	—
71	C₂×#41	—	2	3	no	—
72	C₂×#41	—	2	3	no	—
73	C₂×#41	D₈	1	6	yes	—
74	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
75	C₂²×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
81	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
82	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
83	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
87	AGL(1,ℤ/8)	—	4	48	no	—
88	C₂×SD₁₆	—	4	24	no	—
89	C₂×D₈	—	2	12	no	—
90	C₂×D₈	—	2	12	no	—
91	C₂×D₈	—	2	12	no	—
92	C₂×D₈	—	2	12	no	—
93	C₂×D₈	—	2	12	no	—
94	C₂×D₈	—	4	24	no	—
95	C₂×D₈	—	4	6	no	—
96	C₂×D₈	—	4	6	no	—
97	C₂×D₈	—	4	12	no	—
98	C₂×D₈	C₂⁴	1	8	yes	—
99	#131	—	2	12	no	—
100	#131	—	2	6	no	—
101	#131	—	2	6	no	—
102	#131	C₂×D₄	1	12	yes	—
103	#131	C₂⁴	1	4	yes	—
104	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
109	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
117	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	#41	1	3	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
120	D₁₆	—	2	16	no	—
121	D₁₆	—	2	16	no	—
122	M₃₂	—	2	6	no	—
123	M₃₂	—	2	16	no	—
124	M₃₂	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂×C₁₆	—	2	6	no	—
126	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
127	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
128	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
129	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
130	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
131	#108	—	2	12	no	—
132	#108	C₂⁴	1	8	yes	—
133	#100	—	2	32	no	—
134	C₂⁴	—	2	1	no	—
135	C₂⁴	—	4	12	no	—
136	C₂⁴	—	8	6	no	—
137	C₂⁴	—	8	2	no	—
138	C₂⁴	—	16	8	no	—
139	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
140	#41	—	2	6	no	—
141	#41	—	2	6	no	—
142	#41	—	2	12	no	—
143	#41	C₂×D₈	1	12	yes	—
144	#41	C₂²×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
146	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	6	yes	—
147	C₂×D₄	—	2	6	no	—
148	C₂×D₄	—	2	6	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	3	no	—
151	C₂×D₄	—	4	12	no	—
152	C₂×D₄	—	4	12	no	—
153	C₂×D₄	—	4	12	no	—
154	C₂×D₄	—	4	12	no	—
155	C₂×D₄	—	4	12	no	—
156	C₂×D₄	—	8	6	no	—
157	C₂×D₄	—	8	6	no	—
158	C₂×D₄	—	8	12	no	—
159	C₂×D₄	C₂×D₈	1	6	yes	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
163	C₂²×C₄	#121	1	3	yes	—
164	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	3	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	#135	1	3	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
169	SD₁₆	—	4	32	no	—
170	D₈	—	2	8	no	—
171	D₈	—	2	8	no	—
172	D₈	—	4	32	no	—
173	D₈	—	4	12	no	—
174	D₈	—	4	12	no	—
175	M₁₆	—	2	6	no	—
176	M₁₆	—	2	12	no	—
177	M₁₆	—	2	4	no	—
178	M₁₆	—	2	8	no	—
179	M₁₆	—	4	12	no	—
180	M₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₈	—	2	6	no	—
182	C₂×C₈	—	2	12	no	—
183	C₂×C₈	—	2	4	no	—
184	C₂×C₈	—	4	12	no	—
185	C₂×C₈	#121	1	3	yes	—
186	C₂×C₈	#121	1	3	yes	—
187	C₂×C₈	#121	1	6	yes	—
188	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
189	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
190	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
191	C₂×C₈	C₂×#41	1	3	yes	—
192	C₂×C₈	C₂×#41	1	3	yes	—
193	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
194	C₁₆	—	2	4	no	—
195	C₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
196	C₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	6	no	—
199	C₂³	—	4	4	no	—
200	C₂³	—	4	8	no	—
201	C₂³	—	8	12	no	—
202	C₂³	—	8	12	no	—
203	C₂³	—	16	24	no	—
204	C₂³	—	16	24	no	—
205	C₂³	—	16	8	no	—
206	C₂³	#466	1	3	yes	—
207	C₂³	#466	1	1	yes	characteristic
208	C₂³	C₂×#135	1	3	yes	—
209	Q₈	—	2	6	no	—
210	Q₈	C₂²×D₈	1	4	yes	—
211	D₄	—	2	12	no	—
212	D₄	—	2	4	no	—
213	D₄	—	2	6	no	—
214	D₄	—	4	8	no	—
215	D₄	—	4	8	no	—
216	D₄	—	8	12	no	—
217	D₄	—	8	12	no	—
218	D₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	—	2	6	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	12	no	—
222	C₂×C₄	#466	1	3	yes	—
223	C₂×C₄	#466	1	3	yes	—
224	C₂×C₄	#466	1	6	yes	—
225	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	3	yes	—
228	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	3	yes	—
229	C₂×C₄	C₂×#135	1	3	yes	—
230	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₈	—	2	4	no	—
232	C₈	—	4	8	no	—
233	C₈	C₂×#121	1	3	yes	—
234	C₈	C₂×#121	1	3	yes	—
235	C₈	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	—	2	6	no	—
238	C₂²	—	2	6	no	—
239	C₂²	—	2	4	no	—
240	C₂²	—	4	12	no	—
241	C₂²	—	8	8	no	—
242	C₂²	—	16	8	no	—
243	C₂²	—	16	24	no	—
244	C₂²	—	16	24	no	—
245	C₂²	#2221	1	4	yes	direct product factor
246	C₂²	C₂×#466	1	3	yes	—
247	C₂²	C₂×#466	1	3	yes	—
248	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	C₂×#466	1	3	yes	—
251	C₄	C₂×#466	1	3	yes	—
252	C₄	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
253	C₄	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
254	C₂	—	2	3	no	—
255	C₂	—	2	1	no	—
256	C₂	—	4	4	no	—
257	C₂	—	16	8	no	—
258	C₂	C₂×#2221	1	6	yes	direct product factor
259	C₂	C₂²×#466	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#466
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×D₁₆	C₂	semidirect
2. C₂²×#504	C₂	semidirect
3. C₂²×#472	C₂	semidirect
4. C₂×#2221	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#368	C₂	semidirect
6. C₂²×#361	C₂	semidirect
13. C₂²×D₁₆	C₂²	semidirect
15. C₂×#504	C₂²	semidirect
21. C₂×#472	C₂²	semidirect
24. #2221	C₂²	direct (N × H)
25. C₂×#368	C₂²	semidirect
26. C₂×#361	C₂²	semidirect
51. C₂×D₁₆	C₂³	semidirect
53. #504	C₂³	semidirect
64. #472	C₂³	semidirect
68. #368	C₂³	semidirect
69. #361	C₂³	semidirect
245. C₂²	#2221	direct (N × H)
258. C₂	C₂×#2221	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×D₁₆	2
C₂²×#504	2
C₂²×#472	2
C₂×#2221	2
C₂²×#368	2
C₂²×#361	2

Subgroups — C22×#2221 #7622985

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2221 #7622985