Subgroups — C₂²×#2223 #7622987

Order 512.

1962 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×SD₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#472	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#2223	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
6	C₂²×#368	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#362	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#361	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	—	2	1	no	—
10	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	2	1	no	—
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×SD₃₂	—	2	1	no	—
15	C₂²×SD₃₂	—	2	1	no	—
16	C₂²×SD₃₂	—	2	6	no	—
17	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂×#504	—	2	6	no	—
19	C₂×#504	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂²×M₃₂	—	2	1	no	—
21	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₁₆	—	2	1	no	—
23	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#473	—	2	6	no	—
25	C₂×#473	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂×#472	—	2	6	no	—
27	C₂×#472	C₂²	1	12	yes	—
28	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×#101	—	2	1	no	—
31	C₂²×#100	—	2	1	no	—
32	#2223	C₂²	1	64	yes	direct product factor
33	C₂×#368	C₂²	1	12	yes	complemented
34	C₂×#362	C₂²	1	12	yes	complemented
35	C₂×#361	C₂²	1	12	yes	complemented
36	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂×#137	—	2	12	no	—
40	C₂×#137	—	4	6	no	—
41	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	12	no	—
42	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	6	no	—
43	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂²×Q₁₆	—	2	3	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	3	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	3	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	4	1	no	—
49	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂²×SD₁₆	—	4	1	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	4	1	no	—
52	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	3	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	3	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
56	C₂²×D₈	—	2	3	no	—
57	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
58	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂×#131	—	2	3	no	—
60	C₂×#131	—	2	3	no	—
61	C₂×#131	D₄	1	6	yes	—
62	C₂×#131	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
64	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
65	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
66	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×SD₃₂	—	2	12	no	—
70	C₂×SD₃₂	—	2	12	no	—
71	C₂×SD₃₂	—	2	24	no	—
72	C₂×SD₃₂	C₂³	1	16	yes	complemented
73	#504	—	2	24	no	—
74	#504	C₂³	1	16	yes	complemented
75	C₂×M₃₂	—	2	3	no	—
76	C₂×M₃₂	—	2	12	no	—
77	C₂×M₃₂	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₁₆	—	2	12	no	—
80	C₂²×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₁₆	D₄	1	6	yes	—
83	C₂²×C₁₆	C₂³	1	6	yes	—
84	#473	—	2	24	no	—
85	#473	C₂³	1	16	yes	complemented
86	#472	—	2	24	no	—
87	#472	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#108	—	2	3	no	—
89	C₂×#108	—	2	3	no	—
90	C₂×#108	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×#108	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×#101	—	2	12	no	—
93	C₂×#100	—	2	12	no	—
94	#368	C₂³	1	16	yes	complemented
95	#362	C₂³	1	16	yes	complemented
96	#361	C₂³	1	16	yes	complemented
97	C₂⁵	—	4	1	no	—
98	C₂×#41	—	2	3	no	—
99	C₂×#41	—	2	3	no	—
100	C₂×#41	D₈	1	6	yes	—
101	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
102	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
104	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
108	C₂²×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	3	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	3	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	3	no	—
116	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	#137	—	2	16	no	—
121	#137	—	4	24	no	—
122	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
123	AGL(1,ℤ/8)	—	4	24	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	12	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	3	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	3	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
133	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	12	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	12	no	—
136	C₂×D₈	—	2	6	no	—
137	C₂×D₈	—	2	6	no	—
138	C₂×D₈	—	2	6	no	—
139	C₂×D₈	—	2	6	no	—
140	C₂×D₈	—	2	6	no	—
141	C₂×D₈	—	4	12	no	—
142	C₂×D₈	—	4	3	no	—
143	C₂×D₈	—	4	3	no	—
144	C₂×D₈	—	4	6	no	—
145	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	#131	—	2	12	no	—
147	#131	—	2	6	no	—
148	#131	—	2	6	no	—
149	#131	C₂×D₄	1	12	yes	—
150	#131	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
156	C₂×M₁₆	—	4	3	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	3	no	—
158	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
159	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
162	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
167	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	#41	1	3	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
170	SD₃₂	—	2	16	no	—
171	SD₃₂	—	2	16	no	—
172	M₃₂	—	2	6	no	—
173	M₃₂	—	2	16	no	—
174	M₃₂	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂×C₁₆	—	2	6	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
177	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
178	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
179	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
180	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
181	#108	—	2	6	no	—
182	#108	—	2	6	no	—
183	#108	C₂⁴	1	4	yes	—
184	#108	C₂⁴	1	4	yes	—
185	#101	—	2	16	no	—
186	#100	—	2	16	no	—
187	C₂⁴	—	2	1	no	—
188	C₂⁴	—	4	6	no	—
189	C₂⁴	—	8	3	no	—
190	C₂⁴	—	8	1	no	—
191	C₂⁴	—	16	4	no	—
192	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	2	6	no	—
194	#41	—	2	6	no	—
195	#41	—	2	12	no	—
196	#41	C₂×D₈	1	12	yes	—
197	#41	C₂²×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	3	no	—
206	C₂×Q₈	—	8	3	no	—
207	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	6	yes	—
209	C₂×D₄	—	2	6	no	—
210	C₂×D₄	—	2	6	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	3	no	—
213	C₂×D₄	—	4	6	no	—
214	C₂×D₄	—	4	6	no	—
215	C₂×D₄	—	4	6	no	—
216	C₂×D₄	—	4	6	no	—
217	C₂×D₄	—	4	6	no	—
218	C₂×D₄	—	8	3	no	—
219	C₂×D₄	—	8	3	no	—
220	C₂×D₄	—	8	6	no	—
221	C₂×D₄	C₂×D₈	1	6	yes	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
228	C₂²×C₄	#121	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	3	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#135	1	3	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
234	Q₁₆	—	2	4	no	—
235	Q₁₆	—	2	4	no	—
236	Q₁₆	—	4	16	no	—
237	Q₁₆	—	4	6	no	—
238	Q₁₆	—	4	6	no	—
239	SD₁₆	—	4	16	no	—
240	SD₁₆	—	4	16	no	—
241	D₈	—	2	4	no	—
242	D₈	—	2	4	no	—
243	D₈	—	4	16	no	—
244	D₈	—	4	6	no	—
245	D₈	—	4	6	no	—
246	M₁₆	—	2	6	no	—
247	M₁₆	—	2	12	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	4	6	no	—
252	M₁₆	—	4	6	no	—
253	M₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	—	2	6	no	—
255	C₂×C₈	—	2	12	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	6	no	—
258	C₂×C₈	—	4	6	no	—
259	C₂×C₈	#121	1	3	yes	—
260	C₂×C₈	#121	1	3	yes	—
261	C₂×C₈	#121	1	6	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×#41	1	3	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×#41	1	3	yes	—
267	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
268	C₁₆	—	2	4	no	—
269	C₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	6	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	8	6	no	—
276	C₂³	—	8	6	no	—
277	C₂³	—	16	12	no	—
278	C₂³	—	16	12	no	—
279	C₂³	—	16	4	no	—
280	C₂³	#466	1	3	yes	—
281	C₂³	#466	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#135	1	3	yes	—
283	Q₈	—	2	6	no	—
284	Q₈	—	4	4	no	—
285	Q₈	—	4	4	no	—
286	Q₈	—	8	6	no	—
287	Q₈	—	8	6	no	—
288	Q₈	C₂²×D₈	1	4	yes	—
289	D₄	—	2	12	no	—
290	D₄	—	2	4	no	—
291	D₄	—	2	6	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	8	6	no	—
295	D₄	—	8	6	no	—
296	D₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	—	2	6	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	12	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	6	no	—
302	C₂×C₄	—	8	6	no	—
303	C₂×C₄	#466	1	3	yes	—
304	C₂×C₄	#466	1	3	yes	—
305	C₂×C₄	#466	1	6	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	3	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	3	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	3	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₈	—	2	4	no	—
313	C₈	—	4	4	no	—
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₈	C₂×#121	1	3	yes	—
316	C₈	C₂×#121	1	3	yes	—
317	C₈	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	—	2	6	no	—
320	C₂²	—	2	6	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	4	12	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	16	4	no	—
325	C₂²	—	16	12	no	—
326	C₂²	—	16	12	no	—
327	C₂²	#2223	1	4	yes	direct product factor
328	C₂²	C₂×#466	1	3	yes	—
329	C₂²	C₂×#466	1	3	yes	—
330	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	8	4	no	—
333	C₄	C₂×#466	1	3	yes	—
334	C₄	C₂×#466	1	3	yes	—
335	C₄	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂	—	2	3	no	—
338	C₂	—	2	1	no	—
339	C₂	—	4	4	no	—
340	C₂	—	16	4	no	—
341	C₂	C₂×#2223	1	6	yes	direct product factor
342	C₂	C₂²×#466	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	#466
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
prime radical	C₂²×#472	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×SD₃₂	C₂	semidirect
2. C₂²×#504	C₂	semidirect
3. C₂²×#473	C₂	semidirect
5. C₂×#2223	C₂	direct (N × H)
6. C₂²×#368	C₂	semidirect
7. C₂²×#362	C₂	semidirect
8. C₂²×#361	C₂	semidirect
17. C₂²×SD₃₂	C₂²	semidirect
19. C₂×#504	C₂²	semidirect
25. C₂×#473	C₂²	semidirect
32. #2223	C₂²	direct (N × H)
33. C₂×#368	C₂²	semidirect
34. C₂×#362	C₂²	semidirect
35. C₂×#361	C₂²	semidirect
72. C₂×SD₃₂	C₂³	semidirect
74. #504	C₂³	semidirect
85. #473	C₂³	semidirect
94. #368	C₂³	semidirect
95. #362	C₂³	semidirect
96. #361	C₂³	semidirect
327. C₂²	#2223	direct (N × H)
341. C₂	C₂×#2223	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×SD₃₂	2
C₂²×#504	2
C₂²×#473	2
C₂²×#472	2
C₂×#2223	2
C₂²×#368	2
C₂²×#362	2
C₂²×#361	2

Subgroups — C22×#2223 #7622987

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2223 #7622987