Subgroups — #7623153

Order 512.

1513 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 446 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#60183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33692	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#33688	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#33657	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33637	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2213	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#33531	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#33471	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#33428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3584	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3573	—	2	1	no	—
13	#3508	—	2	1	no	—
14	C₂×#509	C₂²	1	4	yes	—
15	#3184	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#3176	—	2	2	no	—
17	#3176	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#3169	—	2	2	no	—
19	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#3138	—	2	1	no	—
22	#3058	—	2	1	no	—
23	#3058	C₂²	1	2	yes	—
24	#2957	—	2	2	no	—
25	#2957	C₂²	1	2	yes	—
26	#2956	—	2	1	no	—
27	#2956	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#2955	—	2	1	no	—
29	#2955	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#443	—	2	2	no	—
31	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
32	#2948	—	2	1	no	—
33	#2948	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#2916	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2901	—	2	1	no	—
36	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2238	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#2231	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2230	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#2213	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#2213	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#2190	C₂²	1	16	yes	complemented
43	AGL(1,ℤ/16)	C₂²	1	32	yes	complemented
44	#2166	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#2165	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#2155	C₂²	1	4	yes	complemented
47	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	complemented
48	C₂×#361	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#2145	C₂²	1	4	yes	—
50	#2115	C₂²	1	2	yes	—
51	#2110	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#585	—	2	1	no	—
53	#578	—	2	2	no	—
54	#577	—	2	4	no	—
55	#576	—	2	2	no	—
56	#575	—	2	1	no	—
57	#575	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#135	—	2	2	no	—
59	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
62	#568	—	2	1	no	—
63	#568	—	2	2	no	—
64	#568	—	2	4	no	—
65	#568	—	4	4	no	—
66	C₂×#131	—	2	4	no	—
67	C₂×#131	—	2	2	no	—
68	C₂×#131	—	4	4	no	—
69	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#559	—	4	2	no	—
72	#550	—	4	2	no	—
73	#546	—	4	4	no	—
74	#540	—	2	4	no	—
75	#535	—	2	2	no	—
76	#533	—	2	1	no	—
77	#532	—	2	4	no	—
78	C₂×#127	—	2	1	no	—
79	#518	—	2	2	no	—
80	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#509	—	2	8	no	—
82	#509	C₂³	1	16	yes	—
83	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
84	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
85	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
86	#500	—	2	1	no	—
87	#499	—	2	1	no	—
88	#499	C₂³	1	2	yes	—
89	#498	C₂³	1	2	yes	—
90	#493	—	2	1	no	—
91	#493	—	2	1	no	—
92	#493	C₂³	1	2	yes	—
93	#493	C₂³	1	2	yes	—
94	#490	—	2	4	no	—
95	#486	—	2	4	no	—
96	#469	—	2	4	no	—
97	#469	C₂³	1	8	yes	—
98	#466	—	2	4	no	—
99	#466	—	2	4	no	—
100	#444	—	2	4	no	—
101	#444	—	2	4	no	—
102	#444	C₂³	1	8	yes	—
103	#443	—	2	2	no	—
104	#443	—	2	4	no	—
105	#443	—	2	4	no	—
106	#443	—	2	4	no	—
107	#443	—	2	2	no	—
108	#443	C₂³	1	4	yes	—
109	#443	C₂³	1	4	yes	—
110	#442	—	2	4	no	—
111	#442	C₂³	1	8	yes	—
112	C₄×D₈	—	2	4	no	—
113	C₄×D₈	—	2	4	no	—
114	#430	—	2	1	no	—
115	#430	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×#108	—	2	2	no	—
117	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
118	#427	—	2	1	no	—
119	#427	C₂³	1	2	yes	—
120	#421	—	2	2	no	—
121	#421	—	2	4	no	—
122	C₂×#104	—	2	4	no	—
123	C₂×#104	—	2	2	no	—
124	#418	—	2	2	no	—
125	#418	—	2	2	no	—
126	#405	D₄	1	2	yes	—
127	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
128	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#405	C₂³	1	2	yes	—
130	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#365	C₂³	1	16	yes	—
135	#364	C₂³	1	4	yes	—
136	#364	C₂³	1	4	yes	—
137	#361	C₂³	1	16	yes	—
138	#360	C₂³	1	16	yes	—
139	#349	C₂³	1	8	yes	—
140	#347	C₂³	1	8	yes	—
141	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
142	2₋¹⁺⁴	—	4	1	no	—
143	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
144	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
145	H(5,𝔽₂)	—	4	1	no	—
146	C₂×#41	—	2	4	no	—
147	C₂×#41	—	2	2	no	—
148	C₂×#41	—	4	4	no	—
149	C₂×#41	—	4	4	no	—
150	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
153	#137	—	2	4	no	—
154	#137	—	2	8	no	—
155	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
156	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
157	#135	—	2	4	no	—
158	#135	—	2	4	no	—
159	#135	—	2	2	no	—
160	#135	—	2	4	no	—
161	#135	—	2	2	no	—
162	#135	#41	1	4	yes	complemented
163	#135	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×Q₁₆	#41	1	2	yes	complemented
166	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
167	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×D₈	—	2	2	no	—
169	C₂×D₈	—	2	2	no	—
170	C₂×D₈	—	2	2	no	—
171	C₂×D₈	—	2	2	no	—
172	C₂×D₈	—	2	4	no	—
173	C₂×D₈	—	2	4	no	—
174	C₂×D₈	—	4	2	no	—
175	C₂×D₈	—	4	2	no	—
176	C₂×D₈	#41	1	2	yes	complemented
177	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
178	#131	—	2	2	no	—
179	#131	—	2	2	no	—
180	#131	—	2	2	no	—
181	#131	—	2	2	no	—
182	#131	—	2	4	no	—
183	#131	—	2	8	no	—
184	#131	—	2	4	no	—
185	#131	—	4	4	no	—
186	#131	—	4	4	no	—
187	#131	—	4	4	no	—
188	#131	—	4	8	no	—
189	#131	—	4	4	no	—
190	#131	—	4	2	no	—
191	#131	—	4	2	no	—
192	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
193	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
194	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
195	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
196	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
197	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
198	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
209	#127	—	2	2	no	—
210	#127	—	2	2	no	—
211	#127	—	4	2	no	—
212	#127	—	4	2	no	—
213	#125	—	2	2	no	—
214	#124	—	4	4	no	—
215	#124	—	4	2	no	—
216	#123	—	4	8	no	—
217	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
218	#121	—	2	8	no	—
219	#121	—	4	8	no	—
220	#121	—	4	4	no	—
221	#120	—	4	4	no	—
222	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₄×D₄	—	2	2	no	—
225	C₄×D₄	—	2	1	no	—
226	C₄×D₄	—	2	8	no	—
227	C₄×D₄	—	4	4	no	—
228	C₄×D₄	—	4	4	no	—
229	#117	—	2	2	no	—
230	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
235	SD₃₂	—	2	16	no	—
236	D₁₆	—	2	16	no	—
237	M₃₂	—	2	4	no	—
238	M₃₂	C₂⁴	1	8	yes	—
239	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
240	#108	—	2	2	no	—
241	#108	—	2	4	no	—
242	#108	C₂⁴	1	4	yes	—
243	#107	—	2	2	no	—
244	#107	—	2	2	no	—
245	#106	—	2	2	no	—
246	#106	C₂⁴	1	4	yes	—
247	#104	—	2	4	no	—
248	#104	—	2	8	no	—
249	#104	—	2	4	no	—
250	#102	—	2	8	no	—
251	#102	—	2	8	no	—
252	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	#97	C₂⁴	1	2	yes	—
255	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
258	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
259	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
261	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
262	C₂⁴	—	4	2	no	—
263	#41	—	2	2	no	—
264	#41	—	2	2	no	—
265	#41	—	2	8	no	—
266	#41	—	2	4	no	—
267	#41	—	2	4	no	—
268	#41	—	4	4	no	—
269	#41	—	4	8	no	—
270	#41	—	4	4	no	—
271	#41	—	4	4	no	—
272	#41	—	4	2	no	—
273	#41	—	4	4	no	—
274	#41	—	4	2	no	—
275	#41	—	16	8	no	—
276	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
277	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
278	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
279	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
280	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
281	C₂×D₄	—	2	4	no	—
282	C₂×D₄	—	2	2	no	—
283	C₂×D₄	—	2	4	no	—
284	C₂×D₄	—	4	4	no	—
285	C₂×D₄	—	4	4	no	—
286	C₂×D₄	—	4	8	no	—
287	C₂×D₄	—	4	4	no	—
288	C₂×D₄	—	4	4	no	—
289	C₂×D₄	—	4	2	no	—
290	C₂×D₄	—	4	8	no	—
291	C₂×D₄	—	4	4	no	—
292	C₂×D₄	—	4	4	no	—
293	C₂×D₄	—	4	2	no	—
294	C₂×D₄	—	16	4	no	—
295	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
296	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	Q₁₆	—	2	4	no	—
305	Q₁₆	—	2	2	no	—
306	Q₁₆	C₂×#41	1	4	yes	—
307	SD₁₆	—	2	8	no	—
308	SD₁₆	—	2	4	no	—
309	SD₁₆	—	2	4	no	—
310	D₈	—	2	4	no	—
311	D₈	—	2	2	no	—
312	D₈	—	2	8	no	—
313	D₈	—	4	2	no	—
314	D₈	—	4	2	no	—
315	D₈	—	4	2	no	—
316	D₈	—	4	2	no	—
317	D₈	—	4	4	no	—
318	D₈	C₂×#41	1	4	yes	—
319	M₁₆	—	2	2	no	—
320	M₁₆	—	2	2	no	—
321	M₁₆	—	2	4	no	—
322	M₁₆	—	2	4	no	—
323	M₁₆	—	2	4	no	—
324	M₁₆	—	4	8	no	—
325	M₁₆	—	4	4	no	—
326	M₁₆	—	4	2	no	—
327	M₁₆	—	4	4	no	—
328	M₁₆	—	4	4	no	—
329	C₂×C₈	—	2	2	no	—
330	C₂×C₈	—	2	2	no	—
331	C₂×C₈	—	2	2	no	—
332	C₂×C₈	—	2	2	no	—
333	C₂×C₈	—	4	8	no	—
334	C₂×C₈	—	4	4	no	—
335	C₂×C₈	—	4	2	no	—
336	C₂×C₈	—	4	4	no	—
337	C₂×C₈	—	4	4	no	—
338	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
339	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
340	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
346	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
347	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
348	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
349	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
350	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
351	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
352	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
353	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
354	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
355	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
356	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
357	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
358	C₄²	—	2	2	no	—
359	C₄²	—	2	1	no	—
360	C₄²	—	4	2	no	—
361	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
363	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₁₆	—	2	8	no	—
365	C₂³	—	4	4	no	—
366	C₂³	—	4	2	no	—
367	C₂³	—	4	4	no	—
368	C₂³	—	8	4	no	—
369	C₂³	—	16	4	no	—
370	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
371	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
372	Q₈	—	2	2	no	—
373	Q₈	—	2	4	no	—
374	Q₈	—	4	4	no	—
375	Q₈	—	4	2	no	—
376	Q₈	—	8	4	no	—
377	D₄	—	2	4	no	—
378	D₄	—	2	2	no	—
379	D₄	—	2	4	no	—
380	D₄	—	4	4	no	—
381	D₄	—	4	8	no	—
382	D₄	—	4	4	no	—
383	D₄	—	4	4	no	—
384	D₄	—	4	2	no	—
385	D₄	—	4	4	no	—
386	D₄	—	4	4	no	—
387	D₄	—	8	8	no	—
388	D₄	—	8	4	no	—
389	D₄	—	16	4	no	—
390	D₄	—	16	8	no	—
391	C₂×C₄	—	2	1	no	—
392	C₂×C₄	—	2	2	no	—
393	C₂×C₄	—	2	2	no	—
394	C₂×C₄	—	2	2	no	—
395	C₂×C₄	—	2	1	no	—
396	C₂×C₄	—	4	2	no	—
397	C₂×C₄	—	4	4	no	—
398	C₂×C₄	—	4	8	no	—
399	C₂×C₄	—	4	4	no	—
400	C₂×C₄	—	4	2	no	—
401	C₂×C₄	—	4	4	no	—
402	C₂×C₄	—	4	4	no	—
403	C₂×C₄	—	4	4	no	—
404	C₂×C₄	—	16	8	no	—
405	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
410	C₈	—	2	2	no	—
411	C₈	—	2	2	no	—
412	C₈	—	4	4	no	—
413	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
414	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
415	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
416	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
417	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
418	C₈	C₂²×#41	1	2	yes	—
419	C₂²	—	2	2	no	—
420	C₂²	—	4	1	no	—
421	C₂²	—	4	2	no	—
422	C₂²	—	4	4	no	—
423	C₂²	—	8	8	no	—
424	C₂²	—	8	4	no	—
425	C₂²	—	16	2	no	—
426	C₂²	—	16	4	no	—
427	C₂²	—	32	4	no	—
428	C₂²	#3109	1	2	yes	—
429	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
430	C₄	—	2	2	no	—
431	C₄	—	2	2	no	—
432	C₄	—	4	2	no	—
433	C₄	—	4	1	no	—
434	C₄	—	4	4	no	—
435	C₄	—	8	4	no	—
436	C₄	#3109	1	2	yes	—
437	C₄	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
438	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
439	C₂	—	2	1	no	—
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	4	2	no	—
442	C₂	—	8	4	no	—
443	C₂	—	16	4	no	—
444	C₂	C₂×#3109	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂×#3109
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60714	C₂	semidirect
2. #60183	C₂	semidirect
3. #33692	C₂	semidirect
4. #33688	C₂	semidirect
5. #33657	C₂	semidirect
6. #33637	C₂	semidirect
7. C₂×#2213	C₂	semidirect
8. #33531	C₂	semidirect
9. #33471	C₂	semidirect
10. #33428	C₂	semidirect
15. #3184	C₂²	semidirect
17. #3176	C₂²	semidirect
19. #3160	C₂²	semidirect
20. C₂×#493	C₂²	semidirect
27. #2956	C₂²	semidirect
29. #2955	C₂²	semidirect
33. #2948	C₂²	semidirect
37. #2238	C₂²	semidirect
38. #2231	C₂²	semidirect
39. #2230	C₂²	semidirect
40. #2213	C₂²	semidirect
41. #2213	C₂²	semidirect
42. #2190	C₂²	semidirect
43. AGL(1,ℤ/16)	C₂²	semidirect
44. #2166	C₂²	semidirect
45. #2165	C₂²	semidirect
46. #2155	C₂²	semidirect
47. C₂×#364	C₂²	semidirect
48. C₂×#361	C₂²	semidirect
51. #2110	C₂²	semidirect
162. #135	#41	semidirect
165. C₂×Q₁₆	#41	semidirect
176. C₂×D₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60714	2
#60183	2
#33692	2
#33688	2
#33657	2
#33637	2
C₂×#2213	2
#33531	2
#33471	2
#33428	2