Subgroups — C₂×#33721 #7623196

Order 512.

2394 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#510	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂³×Q₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#3156	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33721	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#2251	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2249	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#2247	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#137	—	2	2	no	—
11	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#536	—	2	2	no	—
14	C₂×#510	—	2	16	no	—
15	C₂×#510	C₂²	1	16	yes	complemented
16	C₂×#508	—	2	8	no	—
17	C₂×#508	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂²×Q₃₂	—	2	8	no	—
19	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#3156	—	2	8	no	—
30	#3156	C₂²	1	16	yes	complemented
31	C₂×#497	—	2	4	no	—
32	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2251	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#2249	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#2247	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#2108	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	2	2	no	—
42	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×#137	—	2	16	no	—
44	C₂×#137	—	4	16	no	—
45	C₂×#135	—	2	4	no	—
46	C₂×#135	—	2	8	no	—
47	C₂×#135	—	2	8	no	—
48	C₂×#135	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#536	—	2	16	no	—
63	#536	—	4	8	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×#124	—	2	4	no	—
66	C₂×#123	—	4	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
68	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#510	—	2	64	no	—
70	#508	—	2	32	no	—
71	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
72	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
73	C₂×Q₃₂	—	2	32	no	—
74	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
75	C₂×Q₃₂	—	2	16	no	—
76	C₂×Q₃₂	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×Q₃₂	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×Q₃₂	C₂³	1	16	yes	—
80	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
81	C₂×SD₃₂	—	2	16	no	—
82	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×SD₃₂	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
85	C₂×D₁₆	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	—
87	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²×C₁₆	D₄	1	8	yes	—
89	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
93	#497	—	2	32	no	—
94	#495	—	2	8	no	—
95	#495	C₂³	1	16	yes	—
96	#494	—	2	8	no	—
97	#494	C₂³	1	16	yes	—
98	#405	D₄	1	4	yes	—
99	#405	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#346	C₂³	1	8	yes	—
103	C₄×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×#41	—	2	8	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	8	no	—
107	C₂×#41	—	4	8	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
114	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	#137	—	4	64	no	—
121	#135	—	2	16	no	—
122	#135	—	2	16	no	—
123	#135	—	4	16	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
137	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
143	C₂×D₈	—	2	4	no	—
144	C₂×D₈	—	2	4	no	—
145	C₂×D₈	—	2	2	no	—
146	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂×M₁₆	D₈	1	8	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
158	#124	—	2	16	no	—
159	#124	—	4	8	no	—
160	#123	—	4	32	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
162	#117	D₈	1	4	yes	—
163	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	Q₃₂	—	2	16	no	—
170	Q₃₂	—	2	16	no	—
171	Q₃₂	—	2	8	no	—
172	Q₃₂	—	2	32	no	—
173	SD₃₂	—	2	16	no	—
174	SD₃₂	—	2	32	no	—
175	D₁₆	—	2	8	no	—
176	M₃₂	C₂×D₄	1	16	yes	—
177	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
180	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
181	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
184	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂⁴	—	4	2	no	—
188	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
189	#41	—	4	16	no	—
190	#41	—	4	16	no	—
191	#41	—	8	16	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	8	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
217	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	Q₁₆	—	2	8	no	—
225	Q₁₆	—	2	4	no	—
226	Q₁₆	—	2	8	no	—
227	Q₁₆	—	2	4	no	—
228	Q₁₆	—	4	8	no	—
229	Q₁₆	—	4	16	no	—
230	Q₁₆	—	4	4	no	—
231	Q₁₆	—	4	32	no	—
232	SD₁₆	—	4	16	no	—
233	SD₁₆	—	4	32	no	—
234	D₈	—	2	4	no	—
235	D₈	—	2	4	no	—
236	D₈	—	4	4	no	—
237	M₁₆	C₂×D₈	1	16	yes	—
238	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
241	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
249	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
250	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
253	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
254	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₁₆	C₂²×D₄	1	8	yes	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	8	4	no	—
261	C₂³	—	8	8	no	—
262	C₂³	#493	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
265	Q₈	—	4	4	no	—
266	Q₈	—	4	8	no	—
267	Q₈	—	4	8	no	—
268	Q₈	—	4	4	no	—
269	Q₈	—	8	16	no	—
270	Q₈	—	8	8	no	—
271	Q₈	—	8	4	no	—
272	D₄	—	4	4	no	—
273	D₄	—	4	4	no	—
274	D₄	—	8	16	no	—
275	D₄	—	8	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	16	no	—
281	C₂×C₄	—	8	8	no	—
282	C₂×C₄	—	8	16	no	—
283	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#493	1	8	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₈	C₂×#127	1	2	yes	—
294	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
295	C₈	C₂²×D₈	1	8	yes	—
296	C₈	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₈	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	8	no	—
300	C₂²	—	8	8	no	—
301	C₂²	—	8	4	no	—
302	C₂²	—	16	8	no	—
303	C₂²	C₂×#493	1	4	yes	—
304	C₂²	C₂×#493	1	2	yes	—
305	C₂²	#3417	1	4	yes	—
306	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
307	C₄	—	2	8	no	—
308	C₄	—	8	4	no	—
309	C₄	—	8	8	no	—
310	C₄	C₂×#493	1	4	yes	—
311	C₄	C₂×#493	1	2	yes	—
312	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
313	C₄	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂	—	2	4	no	—
315	C₂	—	16	4	no	—
316	C₂	#33721	1	4	yes	direct product factor
317	C₂	C₂²×#493	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×#3417	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
prime radical	C₂²×#508	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#510	C₂	semidirect
3. C₂³×Q₃₂	C₂	semidirect
4. C₂×#3156	C₂	semidirect
5. #33721	C₂	direct (N × H)
6. C₂×#2251	C₂	semidirect
7. C₂×#2249	C₂	semidirect
8. C₂×#2247	C₂	semidirect
9. C₂×#2108	C₂	semidirect
15. C₂×#510	C₂²	semidirect
23. C₂²×Q₃₂	C₂²	semidirect
30. #3156	C₂²	semidirect
35. #2251	C₂²	semidirect
36. #2249	C₂²	semidirect
37. #2247	C₂²	semidirect
38. #2108	C₂²	semidirect
316. C₂	#33721	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#510	2
C₂²×#508	2
C₂³×Q₃₂	2
C₂×#3156	2
#33721	2
C₂×#2251	2
C₂×#2249	2
C₂×#2247	2
C₂×#2108	2

Subgroups — C2×#33721 #7623196

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#33721 #7623196