Subgroups — #7623215

Order 512.

1272 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 205 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60660	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33730	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#33729	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#33728	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33726	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#33409	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#2158	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#3458	—	2	2	no	—
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3164	C₂²	1	16	yes	—
13	#3163	—	2	8	no	—
14	#3162	—	2	4	no	—
15	#3160	C₂²	1	8	yes	—
16	#2911	—	2	2	no	—
17	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2255	C₂²	1	32	yes	complemented
20	#2254	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#2253	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#2253	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#2252	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#2159	C₂²	1	16	yes	—
25	#2158	C₂²	1	4	yes	—
26	#2158	C₂²	1	4	yes	—
27	#2158	C₂²	1	4	yes	—
28	#2158	C₂²	1	4	yes	—
29	#2158	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×#367	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#366	C₂²	1	4	yes	—
32	#2108	C₂²	1	4	yes	—
33	#2108	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#544	—	2	16	no	—
39	#544	—	4	4	no	—
40	#543	—	4	4	no	—
41	#533	—	2	8	no	—
42	#533	—	4	8	no	—
43	C₂×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×M₃₂	Q₈	1	8	yes	complemented
46	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
48	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	#501	—	2	32	no	—
54	#500	C₂³	1	16	yes	—
55	#499	—	2	8	no	—
56	#499	C₂³	1	16	yes	—
57	#498	—	2	8	no	—
58	#428	—	2	16	no	—
59	#427	—	2	8	no	—
60	#427	—	2	4	no	—
61	#427	—	2	4	no	—
62	#427	C₂³	1	8	yes	—
63	#427	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	#405	D₄	1	4	yes	—
67	#405	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	#367	C₂³	1	8	yes	—
71	#367	C₂³	1	8	yes	—
72	#367	C₂³	1	16	yes	—
73	#366	C₂³	1	8	yes	—
74	#366	C₂³	1	8	yes	—
75	#366	C₂³	1	16	yes	—
76	#346	C₂³	1	8	yes	—
77	C₄×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
78	C₄×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	8	yes	—
81	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
89	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
90	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
91	#125	—	2	16	no	—
92	#125	—	4	16	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
95	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
96	#117	—	2	8	no	—
97	#117	—	2	8	no	—
98	#117	—	4	4	no	—
99	#117	—	4	4	no	—
100	#117	D₈	1	4	yes	—
101	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
106	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	M₃₂	C₂×Q₈	1	16	yes	—
109	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
110	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
111	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
112	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
113	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
114	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
118	#107	—	2	8	no	—
119	#107	—	2	16	no	—
120	#107	C₂⁴	1	16	yes	—
121	#106	—	2	8	no	—
122	#106	—	2	8	no	—
123	#106	—	2	16	no	—
124	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	M₁₆	C₂×Q₁₆	1	16	yes	—
138	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
139	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
140	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
141	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
146	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
152	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
153	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
154	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
156	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
157	C₄²	—	4	8	no	—
158	C₄²	—	4	8	no	—
159	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
160	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
161	C₁₆	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
162	C₁₆	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
163	C₁₆	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
164	C₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
165	C₂³	—	4	2	no	—
166	C₂³	#500	1	4	yes	—
167	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
169	Q₈	—	16	16	no	—
170	C₂×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄	—	4	16	no	—
172	C₂×C₄	—	16	8	no	—
173	C₂×C₄	#500	1	4	yes	—
174	C₂×C₄	#500	1	8	yes	—
175	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
178	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
181	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
182	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
184	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
185	C₈	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
186	C₈	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
187	C₈	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂²	—	2	2	no	—
189	C₂²	—	2	4	no	—
190	C₂²	—	4	4	no	—
191	C₂²	C₂×#500	1	2	yes	—
192	C₂²	C₂×#500	1	4	yes	—
193	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
194	C₄	—	2	8	no	—
195	C₄	—	8	16	no	—
196	C₄	C₂×#500	1	4	yes	—
197	C₄	C₂×#500	1	2	yes	—
198	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₄	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
200	C₂	—	2	2	no	—
201	C₂	—	2	4	no	—
202	C₂	C₂²×#500	1	1	yes	characteristic
203	C₂	#62635	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₈
prime radical	C₂⁴	C₂×D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33730	C₂	semidirect
3. #33729	C₂	semidirect
4. #33728	C₂	semidirect
5. #33726	C₂	semidirect
19. #2255	C₂²	semidirect
20. #2254	C₂²	semidirect
21. #2253	C₂²	semidirect
22. #2253	C₂²	semidirect
23. #2252	C₂²	semidirect
45. C₂×M₃₂	Q₈	semidirect
47. C₂²×C₁₆	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60660	2
#33730	2
#33729	2
#33728	2
#33726	2
#33409	2
C₂×#2158	2
C₂×#2108	2