Subgroups — #7623237

Order 512.

1358 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33743	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#33742	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#33741	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33740	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33739	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#33726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#33701	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#33604	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#33600	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#33451	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#508	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₂×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3455	—	2	2	no	—
16	C₂×#508	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#508	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3177	C₂²	1	4	yes	—
21	#3176	C₂²	1	4	yes	—
22	#3175	C₂²	1	8	yes	—
23	#3174	—	2	4	no	—
24	#3173	—	2	4	no	—
25	#3160	C₂²	1	2	yes	—
26	#3147	C₂²	1	2	yes	—
27	#3135	—	2	2	no	—
28	#3054	—	2	2	no	—
29	#3050	C₂²	1	4	yes	—
30	#2943	—	2	2	no	—
31	C₄×#135	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2254	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#2253	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#2253	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#2252	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#2249	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#2249	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#2248	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#2247	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#2246	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	#2245	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#2244	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#2243	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#2220	C₂²	1	8	yes	—
46	#2219	C₂²	1	4	yes	—
47	#2218	C₂²	1	4	yes	—
48	#2217	C₂²	1	8	yes	—
49	#2216	C₂²	1	4	yes	—
50	#2215	C₂²	1	4	yes	—
51	#2177	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#2176	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#2175	C₂²	1	8	yes	complemented
54	C₄×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
55	C₄×SD₃₂	C₂²	1	8	yes	complemented
56	C₄×D₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#2158	C₂²	1	2	yes	—
58	#2158	C₂²	1	2	yes	—
59	#2138	C₂²	1	4	yes	—
60	#2138	C₂²	1	4	yes	—
61	#2108	C₂²	1	2	yes	—
62	#2108	C₂²	1	2	yes	—
63	#2108	C₂²	1	2	yes	—
64	#2108	C₂²	1	2	yes	—
65	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#135	—	2	2	no	—
70	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#542	—	2	8	no	—
74	#541	—	2	4	no	—
75	#540	—	2	4	no	—
76	#539	—	4	4	no	—
77	#538	—	4	4	no	—
78	#533	—	2	2	no	—
79	#532	—	2	2	no	—
80	#529	—	4	8	no	—
81	#525	—	2	4	no	—
82	C₄×#41	—	2	4	no	—
83	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
84	#508	—	2	8	no	—
85	#508	—	2	8	no	—
86	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
93	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#500	C₂³	1	4	yes	—
103	#499	—	2	2	no	—
104	#499	C₂³	1	4	yes	—
105	#498	—	2	2	no	—
106	#495	—	2	2	no	—
107	#495	C₂³	1	4	yes	—
108	#494	C₂³	1	2	yes	—
109	#493	C₂³	1	2	yes	—
110	#492	—	2	2	no	—
111	#491	—	2	4	no	—
112	#490	—	2	4	no	—
113	#489	—	2	8	no	—
114	#470	—	2	4	no	—
115	#469	—	2	4	no	—
116	#468	—	2	8	no	—
117	#467	C₂³	1	8	yes	—
118	#466	C₂³	1	8	yes	—
119	#465	—	2	8	no	—
120	#442	—	2	4	no	—
121	#441	—	2	4	no	—
122	#440	—	2	8	no	—
123	C₄×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
124	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
125	C₄×D₈	C₂³	1	8	yes	—
126	#427	—	2	2	no	—
127	#427	C₂³	1	4	yes	—
128	#416	—	2	4	no	—
129	#416	—	2	4	no	—
130	#405	D₄	1	2	yes	—
131	#405	D₄	1	2	yes	—
132	#405	C₂³	1	2	yes	—
133	#405	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	#367	C₂³	1	4	yes	—
139	#367	C₂³	1	4	yes	—
140	#366	C₂³	1	4	yes	—
141	#366	C₂³	1	4	yes	—
142	#358	C₂³	1	8	yes	—
143	#358	C₂³	1	8	yes	—
144	#357	C₂³	1	8	yes	—
145	#357	C₂³	1	8	yes	—
146	#346	C₂³	1	2	yes	—
147	#346	C₂³	1	2	yes	—
148	#346	C₂³	1	2	yes	—
149	#346	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
151	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
152	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	C₂×#41	—	2	4	no	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	#135	—	2	8	no	—
159	#135	—	2	8	no	—
160	#135	—	4	8	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×D₈	—	2	2	no	—
166	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
168	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
180	#127	—	2	2	no	—
181	#126	—	4	8	no	—
182	#126	—	4	8	no	—
183	#125	—	2	4	no	—
184	#125	—	4	8	no	—
185	#124	—	2	4	no	—
186	#124	—	4	8	no	—
187	#123	—	4	4	no	—
188	#123	—	4	8	no	—
189	#123	—	4	8	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
193	#121	—	2	8	no	—
194	#121	—	4	4	no	—
195	#121	—	4	8	no	—
196	#120	—	4	4	no	—
197	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₄×D₄	—	2	8	no	—
200	C₄×D₄	—	4	8	no	—
201	C₄×D₄	—	4	8	no	—
202	C₄×D₄	—	4	4	no	—
203	#117	—	2	4	no	—
204	#117	—	4	4	no	—
205	#117	D₈	1	4	yes	—
206	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	Q₃₂	—	2	4	no	—
214	Q₃₂	—	2	4	no	—
215	SD₃₂	—	2	8	no	—
216	SD₃₂	—	2	8	no	—
217	D₁₆	—	2	4	no	—
218	D₁₆	—	2	4	no	—
219	M₃₂	—	2	4	no	—
220	M₃₂	—	2	4	no	—
221	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
222	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
223	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
224	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
225	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
226	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
227	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	#107	—	2	4	no	—
234	#107	C₂⁴	1	8	yes	—
235	#106	—	2	4	no	—
236	#106	—	2	4	no	—
237	#103	—	2	8	no	—
238	#103	—	2	8	no	—
239	#102	—	2	8	no	—
240	#102	—	2	8	no	—
241	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
242	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
249	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
250	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
252	#41	—	4	8	no	—
253	#41	—	4	8	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	Q₁₆	—	2	4	no	—
271	Q₁₆	—	2	4	no	—
272	Q₁₆	—	4	4	no	—
273	SD₁₆	—	4	8	no	—
274	SD₁₆	—	4	8	no	—
275	D₈	—	2	4	no	—
276	D₈	—	2	4	no	—
277	D₈	—	4	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
301	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
308	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
309	C₄²	—	4	8	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₁₆	—	2	2	no	—
317	C₁₆	—	2	2	no	—
318	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
321	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
326	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
327	Q₈	—	4	4	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	16	4	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	D₄	—	16	4	no	—
334	D₄	—	16	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	8	no	—
344	C₂×C₄	—	16	8	no	—
345	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	#532	1	2	yes	—
356	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
357	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
358	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
359	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	8	8	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	#3169	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	8	8	no	—
373	C₄	—	8	4	no	—
374	C₄	#3169	1	2	yes	—
375	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	4	2	no	—
379	C₂	—	16	4	no	—
380	C₂	C₂×#3169	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#62635	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60682	C₂	semidirect
2. #33743	C₂	semidirect
3. #33742	C₂	semidirect
4. #33741	C₂	semidirect
5. #33740	C₂	semidirect
6. #33739	C₂	semidirect
7. #33726	C₂	semidirect
8. #33713	C₂	semidirect
9. #33701	C₂	semidirect
10. #33604	C₂	semidirect
11. #33600	C₂	semidirect
12. #33451	C₂	semidirect
13. C₄×#508	C₂	semidirect
14. C₂×#2108	C₂	semidirect
33. #2254	C₂²	semidirect
34. #2253	C₂²	semidirect
35. #2253	C₂²	semidirect
36. #2252	C₂²	semidirect
37. #2249	C₂²	semidirect
38. #2249	C₂²	semidirect
39. #2248	C₂²	semidirect
40. #2247	C₂²	semidirect
41. #2246	C₂²	semidirect
42. #2245	C₂²	semidirect
43. #2244	C₂²	semidirect
44. #2243	C₂²	semidirect
51. #2177	C₂²	semidirect
52. #2176	C₂²	semidirect
53. #2175	C₂²	semidirect
54. C₄×Q₃₂	C₂²	semidirect
55. C₄×SD₃₂	C₂²	semidirect
56. C₄×D₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60682	2
#33743	2
#33742	2
#33741	2
#33740	2
#33739	2
#33726	2
#33713	2
#33701	2
#33604	2
#33600	2
#33451	2
C₄×#508	2
C₂×#2108	2