Subgroups — #7623248

Order 512.

1418 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60673	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33751	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#33750	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#33749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33748	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#33713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33697	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#33604	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#33451	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3444	—	2	2	no	—
13	C₂×#508	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
15	#3170	C₂²	1	4	yes	—
16	#3169	C₂²	1	4	yes	—
17	#3168	—	2	4	no	—
18	#3168	C₂²	1	8	yes	—
19	#3167	—	2	4	no	—
20	#3160	C₂²	1	2	yes	—
21	#3147	C₂²	1	2	yes	—
22	#3131	—	2	2	no	—
23	#3050	—	2	2	no	—
24	#3050	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×#135	—	2	2	no	—
26	C₄×#135	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2254	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#2253	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#2252	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2249	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2248	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#2247	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#2246	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#2242	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#2241	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#2240	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#2220	C₂²	1	16	yes	—
39	#2219	C₂²	1	8	yes	—
40	#2218	C₂²	1	8	yes	—
41	#2177	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#2176	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#2175	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#2158	C₂²	1	4	yes	—
45	#2138	C₂²	1	8	yes	—
46	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
48	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#135	—	2	2	no	—
53	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#533	—	2	2	no	—
57	#533	—	2	4	no	—
58	#532	—	2	4	no	—
59	#532	—	2	2	no	—
60	#529	—	2	8	no	—
61	#529	—	4	4	no	—
62	#529	—	4	4	no	—
63	#525	—	2	4	no	—
64	#525	—	4	4	no	—
65	C₄×#41	—	2	4	no	—
66	C₄×#41	—	4	4	no	—
67	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#508	—	2	16	no	—
69	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×D₁₆	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
73	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
77	#500	C₂³	1	4	yes	—
78	#499	—	2	2	no	—
79	#499	C₂³	1	4	yes	—
80	#498	—	2	2	no	—
81	#495	—	2	2	no	—
82	#495	C₂³	1	4	yes	—
83	#494	C₂³	1	2	yes	—
84	#493	C₂³	1	2	yes	—
85	#492	—	2	2	no	—
86	#488	—	2	8	no	—
87	#487	—	2	4	no	—
88	#486	—	2	4	no	—
89	#467	—	2	4	no	—
90	#467	C₂³	1	8	yes	—
91	#466	—	2	4	no	—
92	#466	C₂³	1	8	yes	—
93	#465	—	2	8	no	—
94	#465	—	2	8	no	—
95	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
96	C₄×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
97	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
98	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
99	C₄×D₈	—	2	4	no	—
100	C₄×D₈	C₂³	1	8	yes	—
101	#427	—	2	2	no	—
102	#427	C₂³	1	4	yes	—
103	#416	—	2	4	no	—
104	#416	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	#367	C₂³	1	8	yes	—
114	#366	C₂³	1	8	yes	—
115	#358	C₂³	1	16	yes	—
116	#357	C₂³	1	16	yes	—
117	#346	C₂³	1	4	yes	—
118	#346	C₂³	1	4	yes	—
119	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
120	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
121	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	4	4	no	—
126	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	#135	—	2	16	no	—
129	#135	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#126	—	4	8	no	—
150	#125	—	2	4	no	—
151	#125	—	4	4	no	—
152	#124	—	2	4	no	—
153	#124	—	4	4	no	—
154	#123	—	4	4	no	—
155	#123	—	4	8	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	#121	—	2	8	no	—
160	#121	—	4	4	no	—
161	#121	—	4	4	no	—
162	#120	—	4	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
165	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	4	8	no	—
168	C₄×D₄	—	4	8	no	—
169	C₄×D₄	—	4	8	no	—
170	C₄×D₄	—	4	4	no	—
171	C₄×D₄	—	4	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	4	4	no	—
174	#117	—	4	4	no	—
175	#117	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	Q₃₂	—	2	8	no	—
184	SD₃₂	—	2	16	no	—
185	D₁₆	—	2	8	no	—
186	M₃₂	—	2	8	no	—
187	M₃₂	—	2	8	no	—
188	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
189	C₂×C₁₆	#41	1	8	yes	complemented
190	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
193	#107	—	2	4	no	—
194	#107	C₂⁴	1	8	yes	—
195	#106	—	2	4	no	—
196	#106	—	2	4	no	—
197	#103	—	2	8	no	—
198	#103	—	2	8	no	—
199	#102	—	2	8	no	—
200	#102	—	2	8	no	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
212	#41	—	4	8	no	—
213	#41	—	4	8	no	—
214	#41	—	8	16	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	—	2	8	no	—
235	Q₁₆	—	4	4	no	—
236	SD₁₆	—	4	8	no	—
237	SD₁₆	—	4	8	no	—
238	D₈	—	2	8	no	—
239	D₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄²	—	4	8	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₁₆	—	2	4	no	—
275	C₁₆	C₂×#41	1	4	yes	—
276	C₁₆	C₂×#41	1	4	yes	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	Q₈	—	4	4	no	—
284	Q₈	—	8	8	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	8	16	no	—
288	D₄	—	8	8	no	—
289	D₄	—	8	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	16	no	—
301	C₂×C₄	—	8	8	no	—
302	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	#532	1	2	yes	—
313	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
314	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
315	C₈	C₂²×#41	1	2	yes	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	8	8	no	—
321	C₂²	—	8	4	no	—
322	C₂²	#3169	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	8	8	no	—
328	C₄	—	8	4	no	—
329	C₄	#3169	1	2	yes	—
330	C₄	#3414	1	4	yes	—
331	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
332	C₄	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
333	C₂	—	2	2	no	—
334	C₂	—	4	2	no	—
335	C₂	—	16	4	no	—
336	C₂	C₂×#3169	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×#3414	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60673	C₂	semidirect
2. #33751	C₂	semidirect
3. #33750	C₂	semidirect
4. #33749	C₂	semidirect
5. #33748	C₂	semidirect
6. #33726	C₂	semidirect
7. #33713	C₂	semidirect
8. #33697	C₂	semidirect
9. #33604	C₂	semidirect
10. #33451	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×M₃₂	C₂	semidirect
28. #2254	C₂²	semidirect
29. #2253	C₂²	semidirect
30. #2252	C₂²	semidirect
31. #2249	C₂²	semidirect
32. #2248	C₂²	semidirect
33. #2247	C₂²	semidirect
34. #2246	C₂²	semidirect
35. #2242	C₂²	semidirect
36. #2241	C₂²	semidirect
37. #2240	C₂²	semidirect
41. #2177	C₂²	semidirect
42. #2176	C₂²	semidirect
43. #2175	C₂²	semidirect
189. C₂×C₁₆	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60673	2
#33751	2
#33750	2
#33749	2
#33748	2
#33726	2
#33713	2
#33697	2
#33604	2
#33451	2
C₂×C₄×M₃₂	2