Subgroups — #7623269

Order 512.

1358 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60713	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33750	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#33742	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#33739	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33735	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#33726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#33609	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#33608	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#33607	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#33458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#33457	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#33456	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#3510	—	2	2	no	—
17	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#3183	—	2	4	no	—
23	#3175	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#3173	—	2	4	no	—
25	#3168	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#3160	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
28	#3140	—	2	2	no	—
29	#3059	C₂²	1	2	yes	—
30	#3058	C₂²	1	2	yes	—
31	#3057	—	2	2	no	—
32	#2950	C₂²	1	2	yes	—
33	#2949	—	2	2	no	—
34	#2948	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2254	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#2253	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#2253	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#2252	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#2249	C₂²	1	2	yes	—
41	#2249	C₂²	1	2	yes	—
42	#2249	C₂²	1	2	yes	—
43	#2249	C₂²	1	2	yes	—
44	#2243	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#2242	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#2220	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#2219	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#2218	C₂²	1	4	yes	—
49	#2217	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#2216	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#2215	C₂²	1	4	yes	—
52	#2177	C₂²	1	4	yes	—
53	#2176	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#2175	C₂²	1	8	yes	complemented
55	C₄×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
56	C₄×SD₃₂	C₂²	1	8	yes	complemented
57	C₄×D₁₆	C₂²	1	4	yes	—
58	#2158	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#2158	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#2158	C₂²	1	2	yes	—
61	#2141	C₂²	1	2	yes	—
62	#2141	C₂²	1	2	yes	—
63	#2140	C₂²	1	2	yes	—
64	#2140	C₂²	1	2	yes	—
65	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#2108	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#2108	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#559	—	4	4	no	—
79	#556	—	4	4	no	—
80	#551	—	4	8	no	—
81	#542	—	2	8	no	—
82	#536	—	2	2	no	—
83	#535	—	2	2	no	—
84	#533	—	2	2	no	—
85	#529	—	2	8	no	—
86	C₂×#124	—	2	2	no	—
87	#519	—	2	2	no	—
88	#518	—	2	2	no	—
89	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
91	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
94	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	#504	—	2	4	no	—
100	#504	—	2	4	no	—
101	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#500	C₂³	1	4	yes	—
110	#499	—	2	2	no	—
111	#499	C₂³	1	4	yes	—
112	#498	—	2	2	no	—
113	#495	—	2	2	no	—
114	#495	—	2	2	no	—
115	#495	C₂³	1	4	yes	—
116	#495	C₂³	1	4	yes	—
117	#489	—	2	8	no	—
118	#488	—	2	8	no	—
119	#470	—	2	4	no	—
120	#469	—	2	4	no	—
121	#468	—	2	8	no	—
122	#467	C₂³	1	8	yes	—
123	#466	C₂³	1	8	yes	—
124	#465	—	2	8	no	—
125	#442	—	2	4	no	—
126	#441	—	2	4	no	—
127	#440	—	2	8	no	—
128	C₄×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
129	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
130	C₄×D₈	C₂³	1	8	yes	—
131	#427	—	2	2	no	—
132	#427	C₂³	1	2	yes	—
133	#427	C₂³	1	2	yes	—
134	#419	—	2	2	no	—
135	#419	—	2	2	no	—
136	#418	—	2	2	no	—
137	#418	—	2	2	no	—
138	#405	D₄	1	2	yes	—
139	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
140	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#405	C₂³	1	2	yes	—
142	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
146	#367	C₂³	1	4	yes	—
147	#367	C₂³	1	2	yes	—
148	#367	C₂³	1	2	yes	—
149	#366	C₂³	1	2	yes	—
150	#366	C₂³	1	2	yes	—
151	#366	C₂³	1	4	yes	—
152	#358	C₂³	1	8	yes	—
153	#358	C₂³	1	8	yes	—
154	#357	C₂³	1	8	yes	—
155	#357	C₂³	1	8	yes	—
156	#346	C₂³	1	2	yes	—
157	#346	C₂³	1	2	yes	—
158	#346	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
166	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
174	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
175	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
176	C₂×D₈	—	2	2	no	—
177	C₂×D₈	—	2	4	no	—
178	C₂×D₈	—	2	4	no	—
179	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
180	#131	—	2	4	no	—
181	#131	—	2	2	no	—
182	#131	—	2	2	no	—
183	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
192	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
193	#127	—	4	2	no	—
194	#126	—	4	8	no	—
195	#126	—	4	8	no	—
196	#125	—	2	4	no	—
197	#124	—	2	4	no	—
198	#124	—	2	4	no	—
199	#124	—	4	2	no	—
200	#124	—	4	2	no	—
201	#124	—	4	8	no	—
202	#124	—	4	4	no	—
203	#123	—	4	4	no	—
204	#123	—	4	8	no	—
205	#123	—	4	8	no	—
206	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
209	#121	—	2	8	no	—
210	#120	—	4	4	no	—
211	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
212	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₄×Q₈	D₈	1	2	yes	—
215	C₄×D₄	—	2	8	no	—
216	C₄×D₄	—	4	8	no	—
217	C₄×D₄	—	4	4	no	—
218	C₄×D₄	D₈	1	4	yes	—
219	C₄×D₄	D₈	1	2	yes	—
220	#117	—	2	2	no	—
221	#117	—	2	2	no	—
222	#117	—	4	4	no	—
223	#117	—	4	8	no	—
224	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	Q₃₂	—	2	4	no	—
231	Q₃₂	—	2	4	no	—
232	SD₃₂	—	2	8	no	—
233	SD₃₂	—	2	8	no	—
234	D₁₆	—	2	4	no	—
235	D₁₆	—	2	4	no	—
236	M₃₂	—	2	2	no	—
237	M₃₂	—	2	2	no	—
238	M₃₂	—	2	4	no	—
239	M₃₂	—	2	4	no	—
240	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
241	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
242	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
243	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
244	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
245	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
246	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
250	#107	—	2	4	no	—
251	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
252	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
253	#106	—	2	4	no	—
254	#106	—	2	2	no	—
255	#106	—	2	2	no	—
256	#103	—	2	8	no	—
257	#103	—	2	8	no	—
258	#102	—	2	8	no	—
259	#102	—	2	8	no	—
260	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
263	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
270	C₂⁴	—	4	2	no	—
271	#41	—	2	2	no	—
272	#41	—	2	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
275	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
276	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
277	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
278	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂×D₄	—	2	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	8	no	—
281	C₂×D₄	—	4	4	no	—
282	C₂×D₄	—	4	2	no	—
283	C₂×D₄	—	4	4	no	—
284	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
285	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₁₆	—	2	4	no	—
293	Q₁₆	—	2	4	no	—
294	Q₁₆	—	4	4	no	—
295	SD₁₆	—	4	8	no	—
296	SD₁₆	—	4	8	no	—
297	D₈	—	2	4	no	—
298	D₈	—	2	4	no	—
299	D₈	—	4	4	no	—
300	M₁₆	—	2	2	no	—
301	M₁₆	—	2	2	no	—
302	M₁₆	—	2	4	no	—
303	M₁₆	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
314	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
315	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
324	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
332	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
333	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
334	C₄²	—	4	2	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	4	8	no	—
337	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
338	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
339	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₁₆	—	2	2	no	—
343	C₁₆	—	2	2	no	—
344	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
345	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
346	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
347	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
348	C₂³	—	4	4	no	—
349	C₂³	—	8	4	no	—
350	C₂³	—	16	4	no	—
351	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
352	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
353	Q₈	—	2	2	no	—
354	Q₈	—	4	4	no	—
355	Q₈	—	4	4	no	—
356	Q₈	—	8	4	no	—
357	Q₈	—	16	4	no	—
358	D₄	—	2	4	no	—
359	D₄	—	2	2	no	—
360	D₄	—	4	4	no	—
361	D₄	—	4	4	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	D₄	—	16	8	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	4	no	—
372	C₂×C₄	—	16	8	no	—
373	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	—	2	2	no	—
383	C₈	#532	1	2	yes	—
384	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
385	C₈	C₂×#135	1	2	yes	—
386	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
387	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	8	8	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	—	32	4	no	—
394	C₂²	#3169	1	2	yes	—
395	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	2	4	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	8	4	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	#3169	1	2	yes	—
404	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
405	C₄	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	4	2	no	—
408	C₂	—	16	4	no	—
409	C₂	C₂×#3169	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#62635	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
prime radical	#33607	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60713	C₂	semidirect
2. #33750	C₂	semidirect
3. #33742	C₂	semidirect
4. #33739	C₂	semidirect
5. #33735	C₂	semidirect
6. #33726	C₂	semidirect
7. C₂×#2249	C₂	semidirect
8. #33706	C₂	semidirect
9. #33609	C₂	semidirect
10. #33608	C₂	semidirect
12. #33458	C₂	semidirect
13. #33457	C₂	semidirect
14. #33456	C₂	semidirect
15. C₄×#504	C₂	semidirect
23. #3175	C₂²	semidirect
25. #3168	C₂²	semidirect
36. #2254	C₂²	semidirect
37. #2253	C₂²	semidirect
38. #2253	C₂²	semidirect
39. #2252	C₂²	semidirect
44. #2243	C₂²	semidirect
45. #2242	C₂²	semidirect
46. #2220	C₂²	semidirect
47. #2219	C₂²	semidirect
49. #2217	C₂²	semidirect
50. #2216	C₂²	semidirect
53. #2176	C₂²	semidirect
54. #2175	C₂²	semidirect
55. C₄×Q₃₂	C₂²	semidirect
56. C₄×SD₃₂	C₂²	semidirect
67. #2108	C₂²	semidirect
68. #2108	C₂²	semidirect
70. C₄×M₃₂	C₂²	semidirect
72. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60713	2
#33750	2
#33742	2
#33739	2
#33735	2
#33726	2
C₂×#2249	2
#33706	2
#33609	2
#33608	2
#33607	2
#33458	2
#33457	2
#33456	2
C₄×#504	2