Subgroups — #7623355

Order 512.

1670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33784	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#33775	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33772	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#33718	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#33705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#33583	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#33518	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#33418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×Q₁₆	—	2	1	no	—
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#3444	—	2	1	no	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
15	C₂×#510	C₂²	1	8	yes	—
16	#3170	C₂²	1	2	yes	—
17	#3169	C₂²	1	2	yes	—
18	#3168	—	2	2	no	—
19	#3168	C₂²	1	4	yes	—
20	#3167	—	2	2	no	—
21	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#494	—	2	1	no	—
24	C₂×#494	—	2	2	no	—
25	C₂×#494	—	2	2	no	—
26	C₂×#494	—	2	1	no	—
27	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
31	#3131	—	2	1	no	—
32	#3050	—	2	1	no	—
33	#3050	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#135	—	2	1	no	—
35	C₄×#135	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2251	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2248	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#2247	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#2245	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#2241	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#2209	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#2208	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#2188	C₂²	1	16	yes	—
45	#2185	C₂²	1	16	yes	—
46	#2163	C₂²	1	4	yes	—
47	#2162	C₂²	1	4	yes	—
48	#2150	C₂²	1	2	yes	—
49	#2141	C₂²	1	8	yes	—
50	#2112	C₂²	1	2	yes	—
51	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
52	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×#135	—	2	1	no	—
54	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
57	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂²×Q₁₆	—	4	8	no	—
62	C₂²×Q₁₆	—	4	8	no	—
63	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#533	—	2	1	no	—
68	#533	—	2	2	no	—
69	#532	—	2	2	no	—
70	#532	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
76	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
77	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
78	#529	—	2	4	no	—
79	#529	—	4	2	no	—
80	#529	—	4	2	no	—
81	#525	—	2	2	no	—
82	#525	—	4	2	no	—
83	C₄×#41	—	2	2	no	—
84	C₄×#41	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
86	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
87	#510	—	4	16	no	—
88	C₂×Q₃₂	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×SD₃₂	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
91	#500	C₂³	1	2	yes	—
92	#499	—	2	1	no	—
93	#499	C₂³	1	2	yes	—
94	#498	—	2	1	no	—
95	#495	—	2	1	no	—
96	#495	C₂³	1	2	yes	—
97	#494	—	2	4	no	—
98	#494	—	2	4	no	—
99	#494	—	2	4	no	—
100	#494	—	2	4	no	—
101	#494	—	2	4	no	—
102	#494	—	2	2	no	—
103	#494	—	2	2	no	—
104	#494	C₂³	1	8	yes	—
105	#494	C₂³	1	4	yes	—
106	#494	C₂³	1	4	yes	—
107	#494	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#493	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#492	—	2	1	no	—
110	#488	—	2	4	no	—
111	#487	—	2	2	no	—
112	#486	—	2	2	no	—
113	#467	—	2	2	no	—
114	#467	C₂³	1	4	yes	—
115	#466	—	2	2	no	—
116	#466	C₂³	1	4	yes	—
117	#465	—	2	4	no	—
118	#465	—	2	4	no	—
119	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
120	C₄×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
122	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
123	C₄×D₈	—	2	2	no	—
124	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
125	#427	—	2	1	no	—
126	#427	C₂³	1	2	yes	—
127	#416	—	2	2	no	—
128	#416	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
138	#358	C₂³	1	32	yes	—
139	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
140	#346	C₂³	1	4	yes	—
141	C₄×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×#41	—	2	2	no	—
143	C₂×#41	—	4	2	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
147	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
148	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
150	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	#135	—	2	8	no	—
154	#135	—	4	4	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
162	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
169	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
170	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×D₈	—	2	1	no	—
174	C₂×D₈	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
187	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
188	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
190	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
191	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
192	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
194	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
195	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
196	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
197	#127	—	2	1	no	—
198	#126	—	4	4	no	—
199	#125	—	2	2	no	—
200	#125	—	4	2	no	—
201	#124	—	2	2	no	—
202	#124	—	4	2	no	—
203	#123	—	4	2	no	—
204	#123	—	4	4	no	—
205	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
208	#121	—	2	4	no	—
209	#121	—	4	2	no	—
210	#121	—	4	2	no	—
211	#120	—	4	2	no	—
212	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₄×D₄	—	2	4	no	—
216	C₄×D₄	—	4	4	no	—
217	C₄×D₄	—	4	4	no	—
218	C₄×D₄	—	4	4	no	—
219	C₄×D₄	—	4	2	no	—
220	C₄×D₄	—	4	2	no	—
221	#117	—	2	2	no	—
222	#117	—	4	2	no	—
223	#117	—	4	2	no	—
224	#117	—	4	4	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
233	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
234	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
235	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
239	Q₃₂	—	4	16	no	—
240	SD₃₂	—	4	16	no	—
241	M₃₂	—	2	8	no	—
242	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
243	#107	—	2	2	no	—
244	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
245	#106	—	2	2	no	—
246	#106	—	2	2	no	—
247	#103	—	2	4	no	—
248	#103	—	2	4	no	—
249	#102	—	2	4	no	—
250	#102	—	2	4	no	—
251	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
255	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
256	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
259	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
260	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
261	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
262	#41	—	4	4	no	—
263	#41	—	4	4	no	—
264	#41	—	8	8	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
268	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
269	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
271	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
273	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
274	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
275	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
276	C₂×D₄	—	2	2	no	—
277	C₂×D₄	—	4	4	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	4	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
288	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	Q₁₆	—	2	16	no	—
299	Q₁₆	—	2	4	no	—
300	Q₁₆	—	4	16	no	—
301	Q₁₆	—	4	16	no	—
302	Q₁₆	—	4	8	no	—
303	Q₁₆	—	4	8	no	—
304	Q₁₆	—	4	8	no	—
305	Q₁₆	—	4	2	no	—
306	SD₁₆	—	4	4	no	—
307	SD₁₆	—	4	4	no	—
308	D₈	—	2	4	no	—
309	D₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	4	no	—
313	C₂×C₈	—	2	4	no	—
314	C₂×C₈	—	2	4	no	—
315	C₂×C₈	—	2	4	no	—
316	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
317	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
323	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
324	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
339	C₄²	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	4	4	no	—
341	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
342	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
343	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
345	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
346	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
347	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
348	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
349	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₁₆	—	2	8	no	—
352	C₂³	—	2	4	no	—
353	C₂³	—	2	2	no	—
354	C₂³	—	4	2	no	—
355	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
356	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
357	Q₈	—	4	2	no	—
358	Q₈	—	4	8	no	—
359	Q₈	—	4	2	no	—
360	Q₈	—	4	8	no	—
361	Q₈	—	8	16	no	—
362	Q₈	—	8	4	no	—
363	Q₈	—	8	8	no	—
364	D₄	—	4	2	no	—
365	D₄	—	4	2	no	—
366	D₄	—	8	8	no	—
367	D₄	—	8	4	no	—
368	D₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	4	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	8	no	—
381	C₂×C₄	—	8	16	no	—
382	C₂×C₄	—	8	8	no	—
383	C₂×C₄	—	8	8	no	—
384	C₂×C₄	—	8	4	no	—
385	C₂×C₄	#510	1	8	yes	complemented
386	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
395	C₈	—	2	2	no	—
396	C₈	—	2	2	no	—
397	C₈	#535	1	2	yes	—
398	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
399	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
400	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
401	C₂²	—	2	8	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	#3205	1	2	yes	—
408	C₂²	C₂×#510	1	4	yes	—
409	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	8	8	no	—
414	C₄	—	8	2	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	#3205	1	2	yes	—
417	C₄	C₂×#510	1	4	yes	—
418	C₄	C₂×#510	1	4	yes	—
419	C₄	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
420	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
421	C₂	—	2	4	no	—
422	C₂	—	2	2	no	—
423	C₂	—	16	2	no	—
424	C₂	C₂×#3205	1	1	yes	characteristic
425	C₂	C₂²×#510	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
prime radical	#60673	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#494	C₂	semidirect
3. #33784	C₂	semidirect
4. #33775	C₂	semidirect
5. #33772	C₂	semidirect
6. #33718	C₂	semidirect
7. #33705	C₂	semidirect
8. #33583	C₂	semidirect
9. #33518	C₂	semidirect
10. #33418	C₂	semidirect
37. #2251	C₂²	semidirect
38. #2248	C₂²	semidirect
39. #2247	C₂²	semidirect
40. #2245	C₂²	semidirect
41. #2241	C₂²	semidirect
42. #2209	C₂²	semidirect
43. #2208	C₂²	semidirect
385. C₂×C₄	#510	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60673	2
C₂²×#494	2
#33784	2
#33775	2
#33772	2
#33718	2
#33705	2
#33583	2
#33518	2
#33418	2