Subgroups — #7623438

Order 512.

1258 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60666	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33807	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#33801	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33800	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#33732	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#33728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33704	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#2244	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#33650	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#33631	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#33421	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3508	—	2	1	no	—
14	#3504	—	2	1	no	—
15	#3184	—	2	2	no	—
16	#3176	—	2	2	no	—
17	#3176	C₂²	1	4	yes	—
18	#3169	C₂²	1	4	yes	—
19	#3166	—	2	1	no	—
20	#3166	—	2	2	no	—
21	#3164	C₂²	1	2	yes	—
22	#3164	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#3163	—	2	1	no	—
24	#3163	—	2	2	no	—
25	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#3160	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#499	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#3138	—	2	1	no	—
32	#3058	—	2	1	no	—
33	#3058	C₂²	1	2	yes	—
34	#2948	—	2	1	no	—
35	#2948	C₂²	1	2	yes	—
36	#2913	C₂²	1	2	yes	—
37	#2912	—	2	1	no	—
38	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2255	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#2255	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#2255	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#2255	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#2253	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#2244	C₂²	1	2	yes	—
45	#2244	C₂²	1	4	yes	—
46	#2244	C₂²	1	2	yes	—
47	#2244	C₂²	1	4	yes	—
48	#2240	C₂²	1	4	yes	—
49	#2234	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#2234	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#2233	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#2232	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#2228	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#2228	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#2226	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#2224	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#2164	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#2163	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#2159	C₂²	1	4	yes	—
60	#2158	C₂²	1	4	yes	—
61	#2151	C₂²	1	2	yes	—
62	#2140	C₂²	1	4	yes	—
63	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
64	#2113	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
68	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#559	—	4	2	no	—
72	#557	—	4	2	no	—
73	#554	—	4	4	no	—
74	#554	—	4	2	no	—
75	#550	—	4	2	no	—
76	#546	—	4	4	no	—
77	#544	—	2	2	no	—
78	#544	—	2	4	no	—
79	#540	—	2	4	no	—
80	#535	—	2	2	no	—
81	#533	—	2	1	no	—
82	#533	—	2	1	no	—
83	#533	—	2	2	no	—
84	#532	—	2	4	no	—
85	C₂×#127	—	2	1	no	—
86	C₂×#125	—	2	1	no	—
87	C₂×#125	—	2	2	no	—
88	#520	—	2	2	no	—
89	#518	—	2	2	no	—
90	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
93	#501	—	2	4	no	—
94	#501	—	2	4	no	—
95	#501	—	2	4	no	—
96	#500	C₂³	1	2	yes	—
97	#500	C₂³	1	2	yes	—
98	#500	C₂³	1	4	yes	—
99	#499	—	2	1	no	—
100	#499	—	2	1	no	—
101	#499	—	2	2	no	—
102	#499	—	2	2	no	—
103	#499	—	2	1	no	—
104	#499	—	2	1	no	—
105	#499	—	2	2	no	—
106	#499	C₂³	1	2	yes	—
107	#499	C₂³	1	2	yes	—
108	#499	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#499	C₂³	1	4	yes	—
110	#499	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#499	C₂³	1	2	yes	—
112	#498	—	2	1	no	—
113	#498	—	2	1	no	—
114	#498	—	2	2	no	—
115	#493	—	2	1	no	—
116	#493	—	2	1	no	—
117	#493	C₂³	1	2	yes	—
118	#493	C₂³	1	2	yes	—
119	#490	—	2	4	no	—
120	#486	—	2	4	no	—
121	#469	—	2	4	no	—
122	#469	—	2	4	no	—
123	#466	—	2	4	no	—
124	#466	C₂³	1	8	yes	—
125	#442	—	2	4	no	—
126	#442	—	2	4	no	—
127	C₄×D₈	—	2	4	no	—
128	C₄×D₈	C₂³	1	8	yes	—
129	#428	—	2	2	no	—
130	#428	—	2	4	no	—
131	#428	—	2	2	no	—
132	#428	—	2	4	no	—
133	#427	—	2	1	no	—
134	#427	—	2	1	no	—
135	#427	—	2	2	no	—
136	#427	C₂³	1	2	yes	—
137	#427	C₂³	1	2	yes	—
138	#427	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×#106	—	2	1	no	—
142	C₂×#106	—	2	2	no	—
143	#418	—	2	2	no	—
144	#418	—	2	2	no	—
145	#405	D₄	1	2	yes	—
146	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
147	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	#405	C₂³	1	2	yes	—
149	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
153	#367	C₂³	1	4	yes	—
154	#367	C₂³	1	4	yes	—
155	#367	C₂³	1	8	yes	—
156	#366	C₂³	1	4	yes	—
157	#366	C₂³	1	4	yes	—
158	#366	C₂³	1	8	yes	—
159	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
160	#357	C₂³	1	8	yes	—
161	#357	C₂³	1	8	yes	—
162	#357	C₂³	1	8	yes	—
163	#357	C₂³	1	8	yes	—
164	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
165	#346	C₂³	1	2	yes	—
166	#346	C₂³	1	2	yes	—
167	#346	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
169	C₂×#41	—	4	4	no	—
170	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
173	C₂×D₈	—	2	2	no	—
174	C₂×D₈	—	2	2	no	—
175	C₂×D₈	—	2	2	no	—
176	C₂×D₈	—	2	8	no	—
177	C₂×D₈	—	4	4	no	—
178	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
179	#131	—	2	4	no	—
180	#131	—	2	4	no	—
181	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
191	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
194	#127	—	2	2	no	—
195	#127	—	2	2	no	—
196	#127	—	4	2	no	—
197	#127	—	4	2	no	—
198	#125	—	2	2	no	—
199	#125	—	2	1	no	—
200	#125	—	2	4	no	—
201	#125	—	2	2	no	—
202	#125	—	2	1	no	—
203	#125	—	2	2	no	—
204	#125	—	4	2	no	—
205	#125	—	4	4	no	—
206	#125	—	4	4	no	—
207	#125	—	4	2	no	—
208	#124	—	4	2	no	—
209	#124	—	4	4	no	—
210	#123	—	4	8	no	—
211	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
217	#121	—	2	8	no	—
218	#121	—	4	4	no	—
219	#121	—	4	8	no	—
220	#120	—	4	4	no	—
221	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₄×Q₈	D₈	1	2	yes	—
226	C₄×D₄	—	2	8	no	—
227	C₄×D₄	—	4	4	no	—
228	C₄×D₄	—	4	2	no	—
229	C₄×D₄	—	4	4	no	—
230	C₄×D₄	—	4	4	no	—
231	C₄×D₄	D₈	1	4	yes	—
232	C₄×D₄	D₈	1	2	yes	—
233	#117	—	2	2	no	—
234	#117	—	2	4	no	—
235	#117	—	2	2	no	—
236	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
237	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	M₃₂	—	2	4	no	—
246	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
247	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
248	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
249	#107	—	2	4	no	—
250	#107	—	2	2	no	—
251	#107	—	2	4	no	—
252	#107	—	2	2	no	—
253	#107	—	2	2	no	—
254	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
255	#107	C₂⁴	1	2	yes	—
256	#107	C₂⁴	1	2	yes	—
257	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
258	#106	—	2	2	no	—
259	#106	—	2	1	no	—
260	#106	—	2	4	no	—
261	#106	—	2	2	no	—
262	#106	—	2	1	no	—
263	#106	—	2	2	no	—
264	#106	—	2	4	no	—
265	#106	—	2	2	no	—
266	#106	—	2	2	no	—
267	#102	—	2	8	no	—
268	#102	—	2	8	no	—
269	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
270	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
272	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
273	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
275	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
277	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
278	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₂⁴	—	4	2	no	—
280	#41	—	2	2	no	—
281	#41	—	2	2	no	—
282	#41	—	16	8	no	—
283	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
284	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
285	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
286	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂×D₄	—	2	4	no	—
288	C₂×D₄	—	4	8	no	—
289	C₂×D₄	—	4	4	no	—
290	C₂×D₄	—	4	2	no	—
291	C₂×D₄	—	4	4	no	—
292	C₂×D₄	—	4	4	no	—
293	C₂×D₄	—	4	4	no	—
294	C₂×D₄	—	16	4	no	—
295	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
296	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	D₈	—	2	8	no	—
305	D₈	—	4	4	no	—
306	D₈	—	4	4	no	—
307	D₈	—	4	4	no	—
308	M₁₆	—	2	2	no	—
309	M₁₆	—	2	2	no	—
310	M₁₆	—	2	4	no	—
311	M₁₆	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	2	4	no	—
313	C₂×C₈	—	2	4	no	—
314	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
315	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
321	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
322	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
338	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
339	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
340	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
345	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
346	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
347	C₄²	—	4	2	no	—
348	C₄²	—	4	4	no	—
349	C₄²	—	4	2	no	—
350	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
351	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
352	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
354	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₁₆	—	2	4	no	—
356	C₁₆	—	2	4	no	—
357	C₂³	—	4	4	no	—
358	C₂³	—	8	4	no	—
359	C₂³	—	16	4	no	—
360	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
361	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
362	Q₈	—	2	2	no	—
363	Q₈	—	8	4	no	—
364	Q₈	—	16	4	no	—
365	Q₈	—	16	2	no	—
366	D₄	—	2	4	no	—
367	D₄	—	2	2	no	—
368	D₄	—	4	4	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	8	8	no	—
371	D₄	—	8	4	no	—
372	D₄	—	16	4	no	—
373	D₄	—	16	8	no	—
374	C₂×C₄	—	2	2	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	16	8	no	—
383	C₂×C₄	—	16	2	no	—
384	C₂×C₄	—	16	4	no	—
385	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
393	C₈	—	2	2	no	—
394	C₈	—	2	2	no	—
395	C₈	#536	1	2	yes	—
396	C₈	C₂×#137	1	2	yes	—
397	C₈	C₂×#137	1	2	yes	—
398	C₈	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	2	no	—
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	32	4	no	—
405	C₂²	#3226	1	2	yes	—
406	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	8	4	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	—	8	2	no	—
415	C₄	#3226	1	2	yes	—
416	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
418	C₂	—	2	2	no	—
419	C₂	—	4	2	no	—
420	C₂	—	16	4	no	—
421	C₂	C₂×#3226	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#62636	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
prime radical	#60714	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60666	C₂	semidirect
3. #33807	C₂	semidirect
4. #33801	C₂	semidirect
5. #33800	C₂	semidirect
6. #33732	C₂	semidirect
7. #33728	C₂	semidirect
8. #33704	C₂	semidirect
9. C₂×#2244	C₂	semidirect
10. #33650	C₂	semidirect
11. #33631	C₂	semidirect
12. #33421	C₂	semidirect
22. #3164	C₂²	semidirect
27. #3160	C₂²	semidirect
29. C₂×#499	C₂²	semidirect
39. #2255	C₂²	semidirect
40. #2255	C₂²	semidirect
41. #2255	C₂²	semidirect
42. #2255	C₂²	semidirect
43. #2253	C₂²	semidirect
49. #2234	C₂²	semidirect
50. #2234	C₂²	semidirect
51. #2233	C₂²	semidirect
52. #2232	C₂²	semidirect
53. #2228	C₂²	semidirect
54. #2228	C₂²	semidirect
55. #2226	C₂²	semidirect
56. #2224	C₂²	semidirect
57. #2164	C₂²	semidirect
58. #2163	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60714	2
#60666	2
#33807	2
#33801	2
#33800	2
#33732	2
#33728	2
#33704	2
C₂×#2244	2
#33650	2
#33631	2
#33421	2