Subgroups — C₂×#33815 #7623453

Order 512.

1358 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 230 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33815	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#2227	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2216	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂×#2209	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#533	—	2	2	no	—
8	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	#3170	—	2	8	no	—
11	#3170	C₂²	1	16	yes	—
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#487	—	2	2	no	—
15	C₂×#467	—	2	2	no	—
16	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2227	C₂²	1	32	yes	complemented
21	#2216	C₂²	1	32	yes	—
22	#2209	C₂²	1	32	yes	complemented
23	C₂×#366	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#358	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	#533	—	2	16	no	—
32	#533	—	4	8	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
35	C₂×#125	—	4	2	no	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
40	C₂×#117	—	4	2	no	—
41	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×Q₃₂	—	4	8	no	—
43	C₂×Q₃₂	C₂³	1	16	yes	—
44	C₂²×C₁₆	—	4	4	no	—
45	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
47	#500	—	2	4	no	—
48	#500	C₂³	1	8	yes	—
49	#494	—	2	4	no	—
50	#494	C₂³	1	8	yes	—
51	#487	—	2	16	no	—
52	#467	—	2	8	no	—
53	#467	—	2	16	no	—
54	#467	C₂³	1	16	yes	—
55	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
56	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
57	C₄×Q₁₆	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#103	—	2	4	no	—
61	C₂×#103	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	#366	C₂³	1	16	yes	—
67	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	16	yes	—
68	#358	C₂³	1	32	yes	—
69	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
70	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
71	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
75	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
77	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
78	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
79	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
80	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
88	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
90	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
91	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
92	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
93	#125	—	4	16	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
97	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
98	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
99	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
100	#117	—	4	16	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
108	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	Q₃₂	—	4	16	no	—
114	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
116	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
117	#107	—	2	8	no	—
118	#107	—	2	4	no	—
119	#107	C₂⁴	1	8	yes	—
120	#103	—	2	16	no	—
121	#103	—	2	16	no	—
122	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
131	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₄	Q₃₂	1	8	yes	complemented
138	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	Q₁₆	—	2	8	no	—
147	Q₁₆	—	2	8	no	—
148	Q₁₆	—	4	16	no	—
149	Q₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	4	4	no	—
156	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
160	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
162	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
166	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
170	C₄²	—	4	16	no	—
171	C₄²	C₂×D₈	1	8	yes	—
172	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
173	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
174	C₁₆	—	2	8	no	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	C₂×Q₃₂	1	4	yes	—
178	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
179	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
180	Q₈	—	4	8	no	—
181	Q₈	—	4	8	no	—
182	Q₈	—	8	16	no	—
183	Q₈	—	8	8	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄	—	8	8	no	—
193	C₂×C₄	—	8	8	no	—
194	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	8	yes	—
195	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	16	yes	complemented
196	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
199	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
200	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₈	—	2	2	no	—
204	C₈	—	2	4	no	—
205	C₈	#537	1	2	yes	—
206	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	C₈	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂²	—	2	8	no	—
209	C₂²	—	2	2	no	—
210	C₂²	—	2	2	no	—
211	C₂²	#3245	1	2	yes	—
212	C₂²	C₂²×Q₃₂	1	4	yes	—
213	C₂²	C₂²×Q₃₂	1	2	yes	—
214	C₂²	#3414	1	2	yes	—
215	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
216	C₄	—	2	4	no	—
217	C₄	—	2	2	no	—
218	C₄	—	8	8	no	—
219	C₄	—	8	8	no	—
220	C₄	#3245	1	2	yes	—
221	C₄	C₂²×Q₃₂	1	8	yes	—
222	C₄	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
223	C₄	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
224	C₂	—	2	4	no	—
225	C₂	#33815	1	4	yes	direct product factor
226	C₂	C₂×#3245	1	1	yes	characteristic
227	C₂	C₂³×Q₃₂	1	1	yes	characteristic
228	C₂	C₂×#3414	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂×D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33815	C₂	direct (N × H)
3. C₂×#2227	C₂	semidirect
5. C₂×#2209	C₂	semidirect
20. #2227	C₂²	semidirect
22. #2209	C₂²	semidirect
137. C₂²×C₄	Q₃₂	semidirect
195. C₂×C₄	C₂×Q₃₂	semidirect
225. C₂	#33815	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#33815	2
C₂×#2227	2
C₂×#2216	2
C₂×#2209	2
C₂²×C₄⋊C₁₆	2

Subgroups — C2×#33815 #7623453

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#33815 #7623453