Subgroups — C₂×#33843 #7623591

Order 512.

1968 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#510	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33843	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#2220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2211	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#2188	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₄×Q₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#2169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#548	—	2	2	no	—
14	C₂×#510	—	2	16	no	—
15	C₂×#510	C₂²	1	16	yes	complemented
16	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
23	#3285	—	2	8	no	—
24	#3285	C₂²	1	16	yes	complemented
25	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#464	—	2	2	no	—
29	C₂×#452	—	2	2	no	—
30	C₂×#448	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2249	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#2220	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#2211	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#2188	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#2186	C₂²	1	16	yes	complemented
38	C₄×Q₃₂	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2169	C₂²	1	8	yes	complemented
40	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×#135	—	2	8	no	—
50	C₂×#135	—	2	4	no	—
51	C₂×#135	—	4	4	no	—
52	C₂×#135	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
57	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	#548	—	2	16	no	—
65	#548	—	4	8	no	—
66	C₂×#124	—	2	2	no	—
67	C₂×#124	—	4	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×#121	—	4	2	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
74	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
75	#510	—	2	64	no	—
76	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
77	C₂×Q₃₂	—	4	2	no	—
78	C₂×Q₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
79	C₂×Q₃₂	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
83	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
84	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
87	C₂×D₁₆	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
89	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#495	—	2	4	no	—
94	#495	C₂³	1	8	yes	—
95	#467	—	2	4	no	—
96	#467	C₂³	1	8	yes	—
97	#466	—	2	4	no	—
98	#466	C₂³	1	8	yes	—
99	#464	—	2	16	no	—
100	#452	—	2	16	no	—
101	#448	—	2	16	no	—
102	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
103	C₄×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
104	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
105	C₈×D₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×#103	—	2	2	no	—
109	C₂×#103	—	2	2	no	—
110	C₂×#102	—	2	2	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#366	C₂³	1	4	yes	—
114	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
115	#358	C₂³	1	8	yes	—
116	#358	C₂³	1	8	yes	—
117	#357	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
119	C₄×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×#41	—	2	8	no	—
121	C₂×#41	—	4	8	no	—
122	C₂×#41	—	4	4	no	—
123	C₂×#41	—	8	4	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#135	—	2	16	no	—
139	#135	—	4	8	no	—
140	#135	—	4	16	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
151	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
152	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
157	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
158	C₂×D₈	—	2	4	no	—
159	C₂×D₈	—	2	2	no	—
160	C₂×D₈	—	2	4	no	—
161	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	#124	—	2	8	no	—
170	#124	—	4	16	no	—
171	#124	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
175	#121	—	2	8	no	—
176	#121	—	4	16	no	—
177	#121	—	4	4	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
180	C₄×D₄	—	4	16	no	—
181	C₄×D₄	D₈	1	4	yes	—
182	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	Q₃₂	—	2	16	no	—
195	Q₃₂	—	4	4	no	—
196	Q₃₂	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
197	SD₃₂	—	2	16	no	—
198	SD₃₂	—	2	16	no	—
199	D₁₆	—	4	4	no	—
200	M₃₂	—	2	16	no	—
201	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
202	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
203	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
207	#107	—	2	2	no	—
208	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	#103	—	2	8	no	—
211	#103	—	2	8	no	—
212	#102	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂⁴	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
218	#41	—	4	16	no	—
219	#41	—	8	8	no	—
220	#41	—	8	16	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	8	8	no	—
243	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	Q₁₆	—	2	8	no	—
260	Q₁₆	—	2	4	no	—
261	Q₁₆	—	2	4	no	—
262	Q₁₆	—	2	4	no	—
263	Q₁₆	—	4	16	no	—
264	Q₁₆	—	4	4	no	—
265	Q₁₆	C₂²×D₄	1	8	yes	—
266	SD₁₆	—	4	16	no	—
267	SD₁₆	—	8	8	no	—
268	D₈	—	2	4	no	—
269	D₈	—	2	4	no	—
270	D₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₁₆	—	2	4	no	—
296	C₁₆	—	2	2	no	—
297	C₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	8	4	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	—	8	4	no	—
305	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	2	8	no	—
308	Q₈	—	4	8	no	—
309	Q₈	—	4	4	no	—
310	Q₈	—	4	4	no	—
311	Q₈	—	4	4	no	—
312	Q₈	—	8	16	no	—
313	Q₈	—	8	4	no	—
314	D₄	—	4	4	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	8	16	no	—
318	D₄	—	8	16	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	16	no	—
331	C₂×C₄	—	8	16	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₈	—	2	4	no	—
342	C₈	—	2	2	no	—
343	C₈	D₄²	1	2	yes	—
344	C₈	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	4	8	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	8	4	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	16	8	no	—
354	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
355	C₂²	#3414	1	2	yes	—
356	C₂²	#3417	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	4	8	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
365	C₄	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
366	C₄	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
367	C₂	—	4	4	no	—
368	C₂	—	16	4	no	—
369	C₂	#33843	1	4	yes	direct product factor
370	C₂	C₂×D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#3414	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#3417	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#510	C₂	semidirect
2. C₂×#3285	C₂	semidirect
3. #33843	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#2249	C₂	semidirect
5. C₂×#2220	C₂	semidirect
6. C₂×#2211	C₂	semidirect
7. C₂×#2186	C₂	semidirect
8. C₂×#2188	C₂	semidirect
9. C₂×C₄×Q₃₂	C₂	semidirect
10. C₂×#2169	C₂	semidirect
15. C₂×#510	C₂²	semidirect
24. #3285	C₂²	semidirect
33. #2249	C₂²	semidirect
34. #2220	C₂²	semidirect
35. #2211	C₂²	semidirect
36. #2188	C₂²	semidirect
37. #2186	C₂²	semidirect
38. C₄×Q₃₂	C₂²	semidirect
39. #2169	C₂²	semidirect
78. C₂×Q₃₂	D₄	semidirect
196. Q₃₂	C₂×D₄	semidirect
369. C₂	#33843	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#510	2
C₂×#3285	2
#33843	2
C₂×#2249	2
C₂×#2220	2
C₂×#2211	2
C₂×#2186	2
C₂×#2188	2
C₂×C₄×Q₃₂	2
C₂×#2169	2

Subgroups — C2×#33843 #7623591

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#33843 #7623591