Subgroups — #7623646

Order 512.

1912 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#61091	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	D₄×Q₃₂	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#33849	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33842	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2247	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#33608	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#33583	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#33525	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#33434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#578	C₂²	1	4	yes	—
13	#3499	—	2	2	no	—
14	#3417	—	2	16	no	—
15	C₂×#510	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#510	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#508	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#504	C₂²	1	2	yes	—
23	D₄×Q₁₆	C₂²	1	8	yes	—
24	#3283	C₂²	1	8	yes	—
25	#3276	—	2	8	no	—
26	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
27	#3059	C₂²	1	4	yes	—
28	#3039	—	2	2	no	—
29	#3011	—	2	4	no	—
30	C₄×#135	C₂²	1	2	yes	—
31	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2247	C₂²	1	4	yes	—
33	#2247	C₂²	1	4	yes	—
34	#2219	C₂²	1	8	yes	—
35	#2216	C₂²	1	8	yes	—
36	#2209	C₂²	1	8	yes	—
37	#2208	C₂²	1	8	yes	—
38	#2189	C₂²	1	16	yes	—
39	#2188	C₂²	1	16	yes	—
40	C₄×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	—
42	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
43	#2169	C₂²	1	4	yes	—
44	D₄×C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
45	#2158	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#2141	C₂²	1	4	yes	—
48	#2138	C₂²	1	2	yes	—
49	#2113	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
52	#578	—	2	16	no	—
53	#578	—	4	8	no	—
54	C₂×#137	—	2	4	no	—
55	C₂×#137	—	2	8	no	—
56	C₂×#135	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
62	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
63	#547	—	2	8	no	—
64	#547	—	4	8	no	—
65	#536	—	2	4	no	—
66	#536	—	4	4	no	—
67	#532	—	4	2	no	—
68	#532	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
71	C₄×#41	—	2	2	no	—
72	#510	—	2	16	no	—
73	#510	—	2	32	no	—
74	#508	—	2	16	no	—
75	#508	D₄	1	8	yes	complemented
76	C₂×Q₃₂	—	2	16	no	—
77	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
78	C₂×Q₃₂	—	4	4	no	—
79	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×Q₃₂	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×Q₃₂	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×Q₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×SD₃₂	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×D₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#504	—	2	8	no	—
88	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#494	—	2	4	no	—
94	#494	C₂³	1	8	yes	—
95	#470	—	2	8	no	—
96	#467	C₂³	1	16	yes	—
97	#462	—	2	8	no	—
98	#461	—	2	8	no	—
99	#452	—	2	16	no	—
100	#451	—	2	16	no	—
101	C₄×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
103	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
104	#436	D₄	1	4	yes	—
105	C₈×D₄	C₂³	1	4	yes	—
106	#427	C₂³	1	2	yes	—
107	#423	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#419	—	2	4	no	—
109	#416	—	2	2	no	—
110	#408	D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#367	C₂³	1	2	yes	—
113	#366	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
115	#358	C₂³	1	4	yes	—
116	#358	C₂³	1	16	yes	—
117	#357	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
119	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
120	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
121	2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
122	2₋¹⁺⁴	—	8	8	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	8	no	—
125	C₂×#41	—	4	4	no	—
126	C₂×#41	—	4	8	no	—
127	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
131	#137	—	4	32	no	—
132	#137	—	4	16	no	—
133	#135	—	2	16	no	—
134	#135	—	2	4	no	—
135	#135	—	4	8	no	—
136	#135	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	8	4	no	—
145	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
146	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×D₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	#131	—	2	4	no	—
151	#131	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
163	#127	D₈	1	1	yes	characteristic
164	#124	—	4	4	no	—
165	#124	D₈	1	2	yes	—
166	#123	—	4	8	no	—
167	#123	—	4	16	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
170	#121	—	4	8	no	—
171	#121	D₈	1	4	yes	—
172	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	4	no	—
174	C₄×D₄	—	4	8	no	—
175	C₄×D₄	—	4	4	no	—
176	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
181	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	Q₃₂	—	2	16	no	—
184	Q₃₂	—	2	8	no	—
185	Q₃₂	—	2	8	no	—
186	Q₃₂	—	4	8	no	—
187	Q₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	SD₃₂	—	2	16	no	—
189	SD₃₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
190	D₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	M₃₂	—	2	4	no	—
192	M₃₂	—	2	8	no	—
193	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
194	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
195	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
201	#106	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	#103	—	2	4	no	—
204	#103	—	2	16	no	—
205	#102	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	2	8	no	—
212	#41	—	4	16	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	8	8	no	—
215	#41	—	8	16	no	—
216	#41	—	8	32	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
231	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	Q₁₆	—	2	8	no	—
242	Q₁₆	—	2	2	no	—
243	Q₁₆	—	2	8	no	—
244	Q₁₆	—	4	16	no	—
245	Q₁₆	—	4	8	no	—
246	Q₁₆	—	8	8	no	—
247	Q₁₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	SD₁₆	—	2	8	no	—
249	SD₁₆	—	4	16	no	—
250	D₈	—	2	2	no	—
251	D₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₁₆	—	2	4	no	—
279	C₁₆	—	2	2	no	—
280	C₁₆	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₁₆	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	2	4	no	—
286	Q₈	—	2	4	no	—
287	Q₈	—	4	2	no	—
288	Q₈	—	4	8	no	—
289	Q₈	—	4	8	no	—
290	Q₈	—	8	16	no	—
291	Q₈	—	8	8	no	—
292	D₄	—	2	8	no	—
293	D₄	—	2	8	no	—
294	D₄	—	2	4	no	—
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	4	2	no	—
298	D₄	—	8	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	16	no	—
307	C₂×C₄	—	8	16	no	—
308	C₂×C₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	—	8	8	no	—
310	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	D₄²	1	2	yes	—
320	C₈	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₄	—	8	8	no	—
333	C₄	—	8	4	no	—
334	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
335	C₄	#3417	1	4	yes	complemented
336	C₄	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
338	C₂	—	2	2	no	—
339	C₂	—	4	4	no	—
340	C₂	—	8	4	no	—
341	C₂	C₂×D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂×#3417	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ #2931 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3417	C₂	semidirect
2. #61091	C₂	semidirect
3. D₄×Q₃₂	C₂	semidirect
4. #33849	C₂	semidirect
5. #33842	C₂	semidirect
6. C₂×#2247	C₂	semidirect
7. #33608	C₂	semidirect
8. #33583	C₂	semidirect
9. #33525	C₂	semidirect
10. C₄×#508	C₂	semidirect
11. #33434	C₂	semidirect
75. #508	D₄	semidirect
335. C₄	#3417	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3417	2
#61091	2
D₄×Q₃₂	2
#33849	2
#33842	2
C₂×#2247	2
#33608	2
#33583	2
#33525	2
C₄×#508	2
#33434	2