Subgroups — C₂×#33870 #7623680

Order 512.

1584 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33870	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#2241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#2237	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2226	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#2217	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#2208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#2186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#2138	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#555	—	2	1	no	—
15	C₂×#547	—	2	1	no	—
16	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	#3341	—	2	4	no	—
20	#3341	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#3283	—	2	4	no	—
22	#3283	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#482	—	2	2	no	—
26	C₂×#476	—	2	1	no	—
27	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#461	—	2	1	no	—
30	C₂×#452	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
35	#2241	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#2237	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#2226	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2217	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#2208	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#2186	C₂²	1	16	yes	complemented
41	C₄×D₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
42	D₄×C₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#2138	C₂²	1	16	yes	complemented
47	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
52	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×#135	—	2	8	no	—
57	C₂×#135	—	2	4	no	—
58	C₂×#135	—	4	4	no	—
59	C₂×#135	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
61	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	#555	—	2	8	no	—
67	#555	—	4	4	no	—
68	#547	—	2	8	no	—
69	#547	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
72	C₂×#124	—	4	2	no	—
73	C₂×#123	—	4	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×#121	—	2	2	no	—
76	C₂×#121	—	4	1	no	—
77	C₂×#121	—	4	1	no	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#117	—	2	2	no	—
82	C₂×#117	—	4	1	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
84	C₂×SD₃₂	—	4	4	no	—
85	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×D₁₆	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²×C₁₆	—	4	4	no	—
89	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
93	#500	—	2	2	no	—
94	#500	C₂³	1	4	yes	—
95	#494	—	2	2	no	—
96	#494	C₂³	1	4	yes	—
97	#482	—	2	16	no	—
98	#476	—	2	8	no	—
99	#467	—	2	4	no	—
100	#467	C₂³	1	8	yes	—
101	#466	—	2	4	no	—
102	#466	C₂³	1	8	yes	—
103	#461	—	2	8	no	—
104	#452	—	2	16	no	—
105	C₄×D₈	—	2	2	no	—
106	C₄×D₈	—	2	2	no	—
107	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
110	C₈×D₄	C₂³	1	4	yes	—
111	#427	—	2	4	no	—
112	#427	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×#107	—	2	1	no	—
114	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×#106	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×#103	—	2	2	no	—
120	C₂×#102	—	2	1	no	—
121	C₂×#102	—	2	2	no	—
122	C₂×#102	—	2	1	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	#367	C₂³	1	8	yes	—
126	#366	C₂³	1	4	yes	—
127	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
128	#358	C₂³	1	8	yes	—
129	#358	C₂³	1	8	yes	—
130	#358	C₂³	1	8	yes	—
131	#357	C₂³	1	4	yes	—
132	#357	C₂³	1	8	yes	—
133	#357	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
135	C₄×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×#41	—	2	8	no	—
137	C₂×#41	—	4	8	no	—
138	C₂×#41	—	4	4	no	—
139	C₂×#41	—	8	4	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
146	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
148	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
149	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	#135	—	2	16	no	—
152	#135	—	4	8	no	—
153	#135	—	4	16	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
159	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
162	C₂×D₈	—	2	1	no	—
163	C₂×D₈	—	2	1	no	—
164	C₂×D₈	—	2	2	no	—
165	C₂×D₈	—	2	2	no	—
166	C₂×D₈	—	2	2	no	—
167	C₂×D₈	#41	1	4	yes	—
168	C₂×D₈	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂×D₈	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
181	#124	—	4	16	no	—
182	#123	—	4	16	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
185	#121	—	2	8	no	—
186	#121	—	4	8	no	—
187	#121	—	4	8	no	—
188	#121	—	4	4	no	—
189	C₄×D₄	—	2	4	no	—
190	C₄×D₄	—	2	4	no	—
191	C₄×D₄	—	4	2	no	—
192	C₄×D₄	—	4	2	no	—
193	C₄×D₄	D₈	1	4	yes	—
194	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	#117	—	2	8	no	—
196	#117	—	4	4	no	—
197	#117	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	SD₃₂	—	4	8	no	—
216	D₁₆	—	2	8	no	—
217	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
218	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
219	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
220	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
221	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
224	#107	—	2	4	no	—
225	#107	—	2	1	no	—
226	#107	—	2	2	no	—
227	#107	—	2	1	no	—
228	#107	C₂⁴	1	2	yes	—
229	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
230	#107	C₂⁴	1	2	yes	—
231	#106	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	#103	—	2	8	no	—
234	#102	—	2	4	no	—
235	#102	—	2	4	no	—
236	#102	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
239	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
240	C₂⁴	—	4	1	no	—
241	C₂⁴	—	4	1	no	—
242	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
243	#41	—	4	16	no	—
244	#41	—	8	8	no	—
245	#41	—	8	16	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	4	8	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	1	no	—
260	C₂×D₄	—	4	1	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	8	8	no	—
264	C₂×D₄	—	16	4	no	—
265	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	Q₁₆	—	2	4	no	—
285	Q₁₆	—	2	4	no	—
286	Q₁₆	—	4	4	no	—
287	Q₁₆	—	8	4	no	—
288	SD₁₆	—	4	16	no	—
289	D₈	—	2	4	no	—
290	D₈	—	2	2	no	—
291	D₈	—	2	2	no	—
292	D₈	—	2	2	no	—
293	D₈	—	4	2	no	—
294	D₈	C₂×#41	1	4	yes	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	8	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
302	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
306	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
323	C₄²	—	4	8	no	—
324	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
326	C₁₆	—	2	2	no	—
327	C₁₆	—	2	2	no	—
328	C₁₆	—	2	4	no	—
329	C₂³	—	2	4	no	—
330	C₂³	—	2	4	no	—
331	C₂³	—	2	4	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	2	no	—
337	C₂³	—	8	2	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
341	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
342	Q₈	—	4	4	no	—
343	Q₈	—	4	4	no	—
344	Q₈	—	8	4	no	—
345	Q₈	—	16	4	no	—
346	D₄	—	2	8	no	—
347	D₄	—	2	4	no	—
348	D₄	—	4	2	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	—	8	16	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	16	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	8	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	16	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	8	no	—
370	C₂×C₄	—	8	8	no	—
371	C₂×C₄	#508	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
379	C₈	—	2	4	no	—
380	C₈	—	2	2	no	—
381	C₈	#546	1	2	yes	—
382	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
383	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	8	8	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	8	2	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	—	8	2	no	—
395	C₂²	—	16	4	no	—
396	C₂²	#3294	1	2	yes	—
397	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
398	C₂²	#3416	1	2	yes	—
399	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	—	8	4	no	—
406	C₄	#3294	1	2	yes	—
407	C₄	C₂×#508	1	4	yes	—
408	C₄	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
409	C₄	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
410	C₂	—	4	4	no	—
411	C₂	—	8	4	no	—
412	C₂	—	16	2	no	—
413	C₂	#33870	1	4	yes	direct product factor
414	C₂	C₂×#3294	1	1	yes	characteristic
415	C₂	C₂²×#508	1	1	yes	characteristic
416	C₂	C₂×#3416	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3341	C₂	semidirect
2. C₂×#3283	C₂	semidirect
3. #33870	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#2241	C₂	semidirect
5. C₂×#2237	C₂	semidirect
6. C₂×#2226	C₂	semidirect
7. C₂×#2217	C₂	semidirect
8. C₂×#2208	C₂	semidirect
9. C₂×#2186	C₂	semidirect
10. C₂×C₄×D₁₆	C₂	semidirect
11. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
12. C₂×#2138	C₂	semidirect
20. #3341	C₂²	semidirect
22. #3283	C₂²	semidirect
35. #2241	C₂²	semidirect
36. #2237	C₂²	semidirect
37. #2226	C₂²	semidirect
38. #2217	C₂²	semidirect
39. #2208	C₂²	semidirect
40. #2186	C₂²	semidirect
41. C₄×D₁₆	C₂²	semidirect
42. D₄×C₁₆	C₂²	semidirect
46. #2138	C₂²	semidirect
413. C₂	#33870	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3341	2
C₂×#3283	2
#33870	2
C₂×#2241	2
C₂×#2237	2
C₂×#2226	2
C₂×#2217	2
C₂×#2208	2
C₂×#2186	2
C₂×C₄×D₁₆	2
C₂×D₄×C₁₆	2
C₂×#2138	2

Subgroups — C2×#33870 #7623680

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#33870 #7623680