Subgroups — #7623965

Order 512.

1416 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61406	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33970	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#33964	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#33963	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33960	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33958	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#33720	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#33713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#33589	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#33580	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#33474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#33459	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3506	—	2	2	no	—
15	C₂×#509	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#508	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#508	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#3403	—	2	4	no	—
20	#3397	—	2	4	no	—
21	#3396	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#3393	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#3391	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#3155	C₂²	1	4	yes	—
25	#3147	C₂²	1	2	yes	—
26	#3045	—	2	4	no	—
27	#3036	—	2	2	no	—
28	#2960	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2951	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
31	#2250	C₂²	1	8	yes	—
32	#2249	C₂²	1	4	yes	—
33	#2249	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#2249	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#2248	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#2247	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#2246	C₂²	1	4	yes	—
38	#2246	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#2211	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#2210	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#2210	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#2208	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#2207	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#2206	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#2206	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#2183	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#2183	C₂²	1	2	yes	complemented
48	Q₈×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
49	Q₈×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#2175	C₂²	1	8	yes	complemented
51	C₄×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
52	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
56	C₄×D₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
57	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#2151	C₂²	1	2	yes	—
59	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#2139	C₂²	1	4	yes	—
61	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
62	#2108	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
65	C₂×#135	—	2	2	no	—
66	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
68	#559	—	2	8	no	—
69	#556	—	2	4	no	—
70	#555	—	4	2	no	—
71	#553	—	4	4	no	—
72	#550	—	2	4	no	—
73	#547	—	4	2	no	—
74	#538	—	4	4	no	—
75	#535	—	2	4	no	—
76	#533	D₄	1	1	yes	characteristic
77	#532	—	2	2	no	—
78	#525	—	4	4	no	—
79	#520	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	#509	—	4	8	no	—
82	#508	—	2	8	no	—
83	#508	—	4	4	no	—
84	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×D₁₆	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#496	—	2	8	no	—
99	#495	—	2	2	no	—
100	#495	C₂³	1	8	yes	—
101	#495	C₂³	1	4	yes	—
102	#494	C₂³	1	2	yes	—
103	#493	C₂³	1	2	yes	—
104	#493	C₂³	1	8	yes	—
105	#492	—	2	2	no	—
106	#464	—	2	8	no	—
107	#463	—	2	8	no	—
108	#463	—	2	8	no	—
109	#461	—	2	4	no	—
110	#460	—	2	8	no	—
111	#459	—	2	4	no	—
112	#459	—	2	8	no	—
113	#446	D₄	1	2	yes	—
114	#446	D₄	1	2	yes	—
115	C₈×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₈×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
117	#440	—	2	8	no	—
118	C₄×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
119	C₄×D₈	—	2	2	no	—
120	C₄×D₈	—	2	2	no	—
121	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
122	C₄×D₈	C₂³	1	8	yes	—
123	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
125	#424	D₄	1	2	yes	—
126	#423	D₄	1	1	yes	characteristic
127	#417	—	2	4	no	—
128	C₂×#102	—	2	2	no	—
129	#405	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	#366	C₂³	1	2	yes	—
132	#366	C₂³	1	2	yes	—
133	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
134	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
135	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
136	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
137	#358	C₂³	1	8	yes	—
138	#357	C₂³	1	4	yes	—
139	#357	C₂³	1	4	yes	—
140	#357	C₂³	1	8	yes	—
141	#346	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×#41	—	2	4	no	—
148	C₂×#41	—	4	4	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
151	AGL(1,ℤ/8)	—	8	8	no	—
152	#135	—	2	8	no	—
153	#135	—	2	8	no	—
154	#135	—	8	4	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×D₈	—	2	2	no	—
161	C₂×D₈	—	2	2	no	—
162	C₂×D₈	—	2	8	no	—
163	C₂×D₈	—	2	4	no	—
164	C₂×D₈	—	2	4	no	—
165	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
173	#127	—	2	2	no	—
174	#127	—	2	8	no	—
175	#126	—	4	8	no	—
176	#125	D₈	1	2	yes	—
177	#124	—	2	4	no	—
178	#124	—	2	8	no	—
179	#124	—	4	8	no	—
180	#123	—	4	8	no	—
181	#123	—	4	8	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂²⋊Q₈	D₈	1	2	yes	—
184	C₂²⋊Q₈	D₈	1	2	yes	—
185	#121	—	4	2	no	—
186	#121	—	4	2	no	—
187	#121	—	4	4	no	—
188	#121	—	4	4	no	—
189	#121	—	4	4	no	—
190	#121	—	4	8	no	—
191	#120	—	4	8	no	—
192	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×D₄	—	2	4	no	—
196	C₄×D₄	—	2	4	no	—
197	C₄×D₄	—	2	8	no	—
198	C₄×D₄	—	4	8	no	—
199	C₄×D₄	—	4	8	no	—
200	C₄×D₄	—	4	2	no	—
201	C₄×D₄	—	4	2	no	—
202	C₄×D₄	—	4	2	no	—
203	C₄×D₄	—	4	2	no	—
204	#117	—	4	4	no	—
205	#117	—	4	4	no	—
206	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	Q₃₂	—	2	4	no	—
212	Q₃₂	—	4	2	no	—
213	SD₃₂	—	2	8	no	—
214	SD₃₂	—	4	4	no	—
215	SD₃₂	—	4	8	no	—
216	D₁₆	—	2	4	no	—
217	D₁₆	—	2	4	no	—
218	D₁₆	—	2	4	no	—
219	D₁₆	—	4	2	no	—
220	D₁₆	—	4	8	no	—
221	M₃₂	—	2	4	no	—
222	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
223	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	complemented
224	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
227	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	#107	—	2	2	no	—
230	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
231	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
232	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	#103	—	2	8	no	—
236	#102	—	2	4	no	—
237	#102	—	2	4	no	—
238	#102	—	2	8	no	—
239	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
240	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
245	C₂⁴	—	4	2	no	—
246	#41	—	4	8	no	—
247	#41	—	4	8	no	—
248	#41	—	16	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
251	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
268	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	Q₁₆	—	2	4	no	—
272	Q₁₆	—	2	4	no	—
273	Q₁₆	—	8	2	no	—
274	SD₁₆	—	4	8	no	—
275	SD₁₆	—	8	4	no	—
276	SD₁₆	—	8	8	no	—
277	D₈	—	2	4	no	—
278	D₈	—	2	4	no	—
279	D₈	—	2	4	no	—
280	D₈	—	2	4	no	—
281	D₈	—	4	4	no	—
282	D₈	—	8	2	no	—
283	D₈	—	8	8	no	—
284	M₁₆	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
301	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
312	C₄²	—	4	8	no	—
313	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
318	C₁₆	—	2	1	no	—
319	C₁₆	—	2	1	no	—
320	C₁₆	—	2	4	no	—
321	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	8	4	no	—
326	C₂³	—	16	2	no	—
327	C₂³	—	16	2	no	—
328	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
329	Q₈	—	2	4	no	—
330	Q₈	—	4	2	no	—
331	Q₈	—	4	4	no	—
332	Q₈	—	4	4	no	—
333	D₄	—	4	4	no	—
334	D₄	—	4	4	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	8	8	no	—
338	D₄	—	8	4	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	D₄	—	16	2	no	—
341	D₄	—	16	8	no	—
342	D₄	—	16	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	—	16	4	no	—
350	C₂×C₄	—	16	8	no	—
351	C₂×C₄	—	16	2	no	—
352	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₈	—	2	1	no	—
363	C₈	—	2	1	no	—
364	C₈	—	2	4	no	—
365	C₈	#550	1	2	yes	—
366	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
367	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	8	4	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	16	8	no	—
377	C₂²	#3391	1	2	yes	—
378	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	#3391	1	2	yes	—
387	C₄	#3415	1	2	yes	—
388	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
389	C₄	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	16	4	no	—
392	C₂	—	16	4	no	—
393	C₂	C₂×#3391	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#3415	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#62635	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ #2960 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61406	C₂	semidirect
2. #33970	C₂	semidirect
3. #33964	C₂	semidirect
4. #33963	C₂	semidirect
5. #33960	C₂	semidirect
6. #33958	C₂	semidirect
7. #33720	C₂	semidirect
8. #33713	C₂	semidirect
9. #33589	C₂	semidirect
10. #33580	C₂	semidirect
11. #33474	C₂	semidirect
12. #33459	C₂	semidirect
13. C₂×C₄×D₁₆	C₂	semidirect
21. #3396	C₂²	semidirect
22. #3393	C₂²	semidirect
23. #3391	C₂²	semidirect
33. #2249	C₂²	semidirect
34. #2249	C₂²	semidirect
35. #2248	C₂²	semidirect
36. #2247	C₂²	semidirect
38. #2246	C₂²	semidirect
39. #2211	C₂²	semidirect
40. #2210	C₂²	semidirect
41. #2210	C₂²	semidirect
42. #2208	C₂²	semidirect
43. #2207	C₂²	semidirect
44. #2206	C₂²	semidirect
45. #2206	C₂²	semidirect
46. #2183	C₂²	semidirect
47. #2183	C₂²	semidirect
48. Q₈×C₁₆	C₂²	semidirect
49. Q₈×C₁₆	C₂²	semidirect
50. #2175	C₂²	semidirect
51. C₄×Q₃₂	C₂²	semidirect
56. C₄×D₁₆	C₂²	semidirect
223. C₂×C₁₆	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61406	2
#33970	2
#33964	2
#33963	2
#33960	2
#33958	2
#33720	2
#33713	2
#33589	2
#33580	2
#33474	2
#33459	2
C₂×C₄×D₁₆	2