Subgroups — #7623972

Order 512.

1366 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33968	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#33963	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#33960	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33721	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33720	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33587	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#33586	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#33584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#33474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#33458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#33456	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₄×#508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3510	—	2	2	no	—
16	C₂×#510	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#3401	—	2	8	no	—
23	#3396	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#3393	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#3156	C₂²	1	2	yes	—
26	#3155	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
28	#3043	—	2	2	no	—
29	#3042	—	2	2	no	—
30	#3040	—	2	2	no	—
31	#2960	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2950	C₂²	1	2	yes	—
33	#2948	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#135	C₂²	1	2	yes	—
35	#2251	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#2250	C₂²	1	4	yes	—
37	#2249	C₂²	1	2	yes	—
38	#2249	C₂²	1	4	yes	—
39	#2249	C₂²	1	4	yes	—
40	#2249	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#2247	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#2246	C₂²	1	2	yes	—
43	#2211	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#2211	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#2210	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#2210	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#2208	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#2207	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#2183	C₂²	1	4	yes	complemented
50	Q₈×C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#2177	C₂²	1	4	yes	—
52	#2176	C₂²	1	4	yes	complemented
53	C₄×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	complemented
54	C₄×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
55	C₄×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
56	C₄×D₁₆	C₂²	1	4	yes	—
57	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#2158	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#2151	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#2151	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#2141	C₂²	1	2	yes	—
63	#2140	C₂²	1	2	yes	—
64	#2138	C₂²	1	2	yes	—
65	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#137	—	2	2	no	—
69	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
70	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
73	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
74	#559	—	2	8	no	—
75	#556	—	2	8	no	—
76	#551	—	4	8	no	—
77	#542	—	4	4	no	—
78	#536	—	2	2	no	—
79	#535	—	2	2	no	—
80	#533	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#529	—	4	4	no	—
82	C₂×#124	—	2	2	no	—
83	#519	—	2	2	no	—
84	#518	—	2	2	no	—
85	C₄×#41	—	2	2	no	—
86	#510	—	4	4	no	—
87	#509	—	4	4	no	—
88	#508	—	2	4	no	—
89	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
90	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×Q₃₂	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×Q₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×SD₃₂	—	4	4	no	—
95	C₂×SD₃₂	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×SD₃₂	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×D₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×D₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#497	—	2	4	no	—
109	#496	—	2	4	no	—
110	#495	—	2	4	no	—
111	#495	C₂³	1	4	yes	—
112	#495	C₂³	1	8	yes	—
113	#495	C₂³	1	4	yes	—
114	#494	C₂³	1	4	yes	—
115	#493	C₂³	1	4	yes	—
116	#464	—	2	8	no	—
117	#464	—	2	8	no	—
118	#463	—	2	8	no	—
119	#463	—	2	8	no	—
120	#461	—	2	8	no	—
121	#460	—	2	8	no	—
122	#446	D₄	1	4	yes	—
123	C₈×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
124	#442	—	2	4	no	—
125	#441	—	2	4	no	—
126	C₄×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
127	C₄×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
128	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
129	C₄×D₈	C₂³	1	8	yes	—
130	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
131	#427	C₂³	1	2	yes	—
132	#424	D₄	1	1	yes	characteristic
133	#424	D₄	1	1	yes	characteristic
134	#423	D₄	1	1	yes	characteristic
135	#419	—	2	2	no	—
136	#418	—	2	2	no	—
137	#416	—	2	2	no	—
138	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#367	C₂³	1	2	yes	—
142	#366	C₂³	1	2	yes	—
143	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
144	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
146	#358	C₂³	1	4	yes	—
147	#358	C₂³	1	8	yes	—
148	#357	C₂³	1	4	yes	—
149	#357	C₂³	1	8	yes	—
150	#346	C₂³	1	2	yes	—
151	#346	C₂³	1	2	yes	—
152	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
153	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×#41	—	2	2	no	—
157	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
159	#137	—	8	4	no	—
160	AGL(1,ℤ/8)	—	8	4	no	—
161	#135	—	2	4	no	—
162	#135	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
167	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
173	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
174	C₂×D₈	—	2	2	no	—
175	C₂×D₈	—	2	4	no	—
176	C₂×D₈	—	2	4	no	—
177	C₂×D₈	—	2	4	no	—
178	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×D₈	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊Q₈	D₈	1	2	yes	—
186	#127	—	2	4	no	—
187	#126	—	4	8	no	—
188	#126	—	4	8	no	—
189	#125	D₈	1	2	yes	—
190	#124	—	2	8	no	—
191	#124	—	2	4	no	—
192	#124	—	2	4	no	—
193	#124	—	4	8	no	—
194	#124	—	4	2	no	—
195	#124	—	4	2	no	—
196	#123	—	4	8	no	—
197	#123	—	4	8	no	—
198	#123	—	4	4	no	—
199	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂²⋊Q₈	D₈	1	4	yes	—
202	#121	—	4	4	no	—
203	#120	—	4	4	no	—
204	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
206	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₄×D₄	—	2	4	no	—
209	C₄×D₄	—	2	8	no	—
210	C₄×D₄	—	4	4	no	—
211	C₄×D₄	—	4	4	no	—
212	C₄×D₄	—	4	8	no	—
213	#117	—	2	2	no	—
214	#117	—	4	8	no	—
215	#117	—	4	4	no	—
216	#117	—	4	2	no	—
217	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	Q₃₂	—	2	4	no	—
224	Q₃₂	—	2	4	no	—
225	Q₃₂	—	2	2	no	—
226	Q₃₂	—	4	4	no	—
227	SD₃₂	—	2	4	no	—
228	SD₃₂	—	4	8	no	—
229	SD₃₂	—	4	4	no	—
230	SD₃₂	—	4	4	no	—
231	D₁₆	—	2	4	no	—
232	D₁₆	—	2	4	no	—
233	D₁₆	—	2	2	no	—
234	D₁₆	—	4	4	no	—
235	M₃₂	—	2	2	no	—
236	M₃₂	—	2	2	no	—
237	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
238	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
239	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
240	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
242	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
245	#106	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
247	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
249	#103	—	2	4	no	—
250	#103	—	2	8	no	—
251	#102	—	2	4	no	—
252	#102	—	2	8	no	—
253	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
255	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
256	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
257	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
258	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
259	C₂⁴	—	4	2	no	—
260	#41	—	4	4	no	—
261	#41	—	4	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	4	2	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	2	no	—
273	C₂×D₄	—	4	8	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	Q₁₆	—	2	2	no	—
282	Q₁₆	—	2	4	no	—
283	Q₁₆	—	2	4	no	—
284	Q₁₆	—	2	2	no	—
285	Q₁₆	—	4	4	no	—
286	Q₁₆	—	8	4	no	—
287	SD₁₆	—	4	4	no	—
288	SD₁₆	—	8	8	no	—
289	SD₁₆	—	8	4	no	—
290	SD₁₆	—	8	4	no	—
291	D₈	—	2	4	no	—
292	D₈	—	2	2	no	—
293	D₈	—	2	2	no	—
294	D₈	—	2	4	no	—
295	D₈	—	4	4	no	—
296	D₈	—	8	4	no	—
297	M₁₆	—	2	2	no	—
298	M₁₆	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
312	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
313	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
314	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
315	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
323	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
324	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	—	4	4	no	—
327	C₄²	—	4	8	no	—
328	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
331	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₁₆	—	2	2	no	—
334	C₁₆	—	2	2	no	—
335	C₁₆	—	2	2	no	—
336	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
337	C₁₆	C₂×#41	1	2	yes	—
338	C₂³	—	4	4	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	16	4	no	—
342	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	4	4	no	—
344	Q₈	—	4	2	no	—
345	Q₈	—	4	4	no	—
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	4	2	no	—
348	Q₈	—	8	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	16	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	16	4	no	—
363	C₂×C₄	—	16	8	no	—
364	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	#550	1	2	yes	—
376	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
377	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	8	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	32	4	no	—
384	C₂²	#3391	1	2	yes	—
385	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	2	4	no	—
389	C₄	—	2	4	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	—	8	2	no	—
392	C₄	—	8	4	no	—
393	C₄	#3391	1	2	yes	—
394	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
395	C₄	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	16	2	no	—
398	C₂	—	16	4	no	—
399	C₂	C₂×#3391	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#62635	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
prime radical	#33720	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ #2960 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61413	C₂	semidirect
2. #33968	C₂	semidirect
3. #33963	C₂	semidirect
4. #33960	C₂	semidirect
5. #33721	C₂	semidirect
7. C₂×#2249	C₂	semidirect
8. #33587	C₂	semidirect
9. #33586	C₂	semidirect
10. #33584	C₂	semidirect
11. #33474	C₂	semidirect
12. #33458	C₂	semidirect
13. #33456	C₂	semidirect
14. C₄×#508	C₂	semidirect
23. #3396	C₂²	semidirect
24. #3393	C₂²	semidirect
35. #2251	C₂²	semidirect
40. #2249	C₂²	semidirect
41. #2247	C₂²	semidirect
43. #2211	C₂²	semidirect
44. #2211	C₂²	semidirect
45. #2210	C₂²	semidirect
46. #2210	C₂²	semidirect
47. #2208	C₂²	semidirect
48. #2207	C₂²	semidirect
49. #2183	C₂²	semidirect
50. Q₈×C₁₆	C₂²	semidirect
52. #2176	C₂²	semidirect
53. C₄×Q₃₂	C₂²	semidirect
54. C₄×Q₃₂	C₂²	semidirect
55. C₄×SD₃₂	C₂²	semidirect
57. C₄×D₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61413	2
#33968	2
#33963	2
#33960	2
#33721	2
#33720	2
C₂×#2249	2
#33587	2
#33586	2
#33584	2
#33474	2
#33458	2
#33456	2
C₄×#508	2