Subgroups — #7625031

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62474	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33947	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#33908	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#33906	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#33794	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#33793	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#33733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#33726	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#2252	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₁₆×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3511	—	2	2	no	—
13	#3380	—	2	2	no	—
14	#3380	C₂²	1	4	yes	—
15	#3341	—	2	2	no	—
16	#3341	C₂²	1	4	yes	—
17	#3339	—	2	4	no	—
18	#3339	C₂²	1	8	yes	—
19	#3228	—	2	4	no	—
20	#3227	—	2	2	no	—
21	#3169	C₂²	1	2	yes	—
22	#3169	C₂²	1	4	yes	—
23	#3160	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
25	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2254	C₂²	1	4	yes	—
27	#2253	C₂²	1	8	yes	—
28	#2252	C₂²	1	2	yes	—
29	#2252	C₂²	1	4	yes	—
30	#2252	C₂²	1	2	yes	—
31	#2252	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2246	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2240	C₂²	1	4	yes	—
34	#2240	C₂²	1	2	yes	—
35	#2234	C₂²	1	16	yes	—
36	#2233	C₂²	1	8	yes	—
37	#2228	C₂²	1	16	yes	—
38	#2226	C₂²	1	8	yes	—
39	#2215	C₂²	1	4	yes	—
40	#2215	C₂²	1	8	yes	—
41	Q₈×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄×D₁₆	C₂²	1	8	yes	—
43	C₄×D₁₆	C₂²	1	4	yes	—
44	D₄×C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
45	D₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
46	#2162	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#2162	C₂²	1	2	yes	—
48	#2158	C₂²	1	8	yes	—
49	C₂×#366	C₂²	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
52	#556	—	4	2	no	—
53	#555	—	2	4	no	—
54	#554	—	2	4	no	—
55	#553	—	2	8	no	—
56	#548	—	4	4	no	—
57	#547	—	4	2	no	—
58	#542	—	4	4	no	—
59	#537	—	4	2	no	—
60	#533	—	2	4	no	—
61	#532	—	2	2	no	—
62	#532	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	#520	—	4	2	no	—
65	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×D₁₆	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
69	#500	—	2	2	no	—
70	#500	—	2	2	no	—
71	#500	C₂³	1	4	yes	—
72	#500	C₂³	1	4	yes	—
73	#500	C₂³	1	2	yes	—
74	#499	—	2	4	no	—
75	#499	C₂³	1	8	yes	—
76	#498	—	2	4	no	—
77	#493	C₂³	1	2	yes	—
78	#486	—	2	4	no	—
79	#486	—	2	2	no	—
80	#482	—	2	8	no	—
81	#482	—	2	8	no	—
82	#481	—	2	8	no	—
83	#478	—	2	8	no	—
84	#478	—	2	8	no	—
85	#476	—	2	4	no	—
86	#476	—	2	4	no	—
87	#466	—	2	2	no	—
88	#466	—	2	4	no	—
89	#466	C₂³	1	4	yes	—
90	#466	C₂³	1	8	yes	—
91	C₈×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₈×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×D₈	—	2	4	no	—
94	C₄×D₈	—	2	2	no	—
95	C₄×D₈	C₂³	1	8	yes	—
96	C₄×D₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₈×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₈×D₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₈×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#431	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#431	D₄	1	2	yes	—
103	#427	—	2	4	no	—
104	#427	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×#107	—	2	2	no	—
106	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	#367	C₂³	1	16	yes	—
110	#366	C₂³	1	8	yes	—
111	#366	C₂³	1	8	yes	—
112	#366	C₂³	1	4	yes	—
113	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
115	#357	C₂³	1	16	yes	—
116	#357	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
119	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
123	C₄×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×#41	—	4	2	no	—
125	C₂×#41	—	4	4	no	—
126	C₂×#41	D₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
128	C₂×D₈	—	2	2	no	—
129	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#126	—	4	8	no	—
141	#125	—	2	8	no	—
142	#124	—	4	8	no	—
143	#124	—	4	2	no	—
144	#124	—	4	4	no	—
145	#123	—	4	8	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	#121	—	2	4	no	—
151	#121	—	2	8	no	—
152	#121	—	4	4	no	—
153	#121	—	4	8	no	—
154	#121	—	4	4	no	—
155	#121	—	4	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₄×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
159	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×D₄	—	2	8	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	4	8	no	—
163	C₄×D₄	—	4	4	no	—
164	C₄×D₄	—	4	2	no	—
165	C₄×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
166	C₄×D₄	D₈	1	2	yes	—
167	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	#117	—	2	8	no	—
170	#117	—	4	4	no	—
171	#117	D₈	1	1	yes	characteristic
172	#117	D₈	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	D₁₆	—	2	8	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
180	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
181	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
184	#107	—	2	4	no	—
185	#107	—	2	4	no	—
186	#107	—	2	4	no	—
187	#107	—	2	2	no	—
188	#107	C₂⁴	1	8	yes	—
189	#107	C₂⁴	1	4	yes	—
190	#106	—	2	8	no	—
191	#106	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	#102	—	2	8	no	—
197	#102	—	2	4	no	—
198	#102	—	2	8	no	—
199	#102	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	8	8	no	—
212	#41	—	16	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	16	4	no	—
217	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
224	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	D₈	—	2	8	no	—
235	D₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
255	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
256	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
264	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
265	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
266	C₄²	—	4	8	no	—
267	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₁₆	—	2	2	no	—
275	C₁₆	—	2	4	no	—
276	C₁₆	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	2	2	no	—
281	Q₈	—	8	4	no	—
282	Q₈	—	8	8	no	—
283	Q₈	—	16	4	no	—
284	D₄	—	2	4	no	—
285	D₄	—	2	2	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	8	8	no	—
289	D₄	—	8	4	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	D₄	—	16	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	8	8	no	—
302	C₂×C₄	—	16	8	no	—
303	C₂×C₄	—	16	4	no	—
304	C₂×C₄	#508	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	1	no	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	1	no	—
318	C₈	#578	1	2	yes	—
319	C₈	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	8	4	no	—
336	C₄	—	8	8	no	—
337	C₄	C₂×#508	1	2	yes	—
338	C₄	C₂×#508	1	2	yes	—
339	C₄	#3415	1	2	yes	—
340	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
341	C₄	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
342	C₂	—	2	2	no	—
343	C₂	—	4	2	no	—
344	C₂	—	16	4	no	—
345	C₂	#62471	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂²×#508	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#3415	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ C₈×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #62474	C₂	semidirect
2. #33947	C₂	semidirect
3. #33908	C₂	semidirect
4. #33906	C₂	semidirect
5. #33794	C₂	semidirect
6. #33793	C₂	semidirect
7. #33733	C₂	semidirect
8. #33733	C₂	semidirect
9. #33726	C₂	semidirect
10. C₂×#2252	C₂	semidirect
11. C₁₆×#41	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62474	2
#33947	2
#33908	2
#33906	2
#33794	2
#33793	2
#33733	2
#33726	2
C₂×#2252	2
C₁₆×#41	2