Subgroups — C₂²×#2344 #7625331

Order 512.

13690 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#117	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2344	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#387	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#381	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂²×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	—	2	32	no	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	48	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	32	yes	complemented
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	24	yes	—
21	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	#2344	C₂²	1	256	yes	direct product factor
27	C₂×#389	C₂²	1	48	yes	complemented
28	C₂×#387	C₂²	1	96	yes	complemented
29	C₂×#381	C₂²	1	48	yes	—
30	C₂×#380	C₂²	1	24	yes	—
31	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	24	yes	—
33	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
39	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
40	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
41	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	24	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	—	2	384	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	128	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	384	yes	complemented
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	64	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂²×C₄²	—	2	32	no	—
73	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	48	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
76	#389	C₂³	1	128	yes	complemented
77	#387	C₂³	1	256	yes	complemented
78	#381	C₂³	1	128	yes	—
79	#380	C₂³	1	64	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	128	yes	complemented
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	64	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
84	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
85	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
86	C₂⁵	—	2	8	no	—
87	C₂⁵	—	2	8	no	—
88	C₂⁵	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
90	C₂⁵	#41	1	8	yes	—
91	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
92	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	—	2	256	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	192	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	96	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
118	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
128	#117	—	2	512	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	192	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	192	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	96	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	96	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	512	yes	complemented
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	96	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
146	C₂×C₄²	—	2	192	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	64	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
150	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
151	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
152	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
153	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
154	C₂⁴	—	2	32	no	—
155	C₂⁴	—	2	32	no	—
156	C₂⁴	—	2	64	no	—
157	C₂⁴	—	2	64	no	—
158	C₂⁴	—	2	24	no	—
159	C₂⁴	—	2	24	no	—
160	C₂⁴	C₄×D₄	1	64	yes	—
161	C₂⁴	C₂³×C₄	1	24	yes	—
162	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
163	C₂⁴	C₂²×D₄	1	24	yes	—
164	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
165	C₂⁴	C₂×#41	1	24	yes	—
166	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
167	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
168	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
169	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	768	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	384	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
195	C₂²×C₄	#117	1	64	yes	complemented
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	24	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	48	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	48	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	128	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	64	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	24	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
211	C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
213	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	128	yes	—
214	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	64	yes	—
215	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	64	yes	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
218	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	64	yes	—
219	C₄²	—	2	128	no	—
220	C₄²	—	2	64	no	—
221	C₂³	—	2	8	no	—
222	C₂³	—	2	8	no	—
223	C₂³	—	2	256	no	—
224	C₂³	—	2	48	no	—
225	C₂³	—	2	48	no	—
226	C₂³	—	2	96	no	—
227	C₂³	—	2	96	no	—
228	C₂³	C₂×#117	1	16	yes	—
229	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	96	yes	—
230	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	16	yes	—
231	C₂³	#519	1	16	yes	—
232	C₂³	#547	1	32	yes	—
233	C₂³	#552	1	32	yes	—
234	C₂³	C₂⁴×C₄	1	8	yes	—
235	C₂³	C₂⁴×C₄	1	6	yes	—
236	C₂³	C₂³×D₄	1	8	yes	—
237	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
238	C₂³	C₂²×#41	1	8	yes	—
239	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
240	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
241	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	12	yes	—
242	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	48	no	—
251	C₂×C₄	—	2	256	no	—
252	C₂×C₄	—	2	96	no	—
253	C₂×C₄	—	2	96	no	—
254	C₂×C₄	—	2	96	no	—
255	C₂×C₄	—	2	128	no	—
256	C₂×C₄	—	2	16	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	16	no	—
260	C₂×C₄	—	2	16	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	4	96	no	—
263	C₂×C₄	—	4	48	no	—
264	C₂×C₄	C₂×#117	1	96	yes	complemented
265	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	8	yes	—
266	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	16	yes	—
267	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	16	yes	—
268	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
271	C₂²	—	2	192	no	—
272	C₂²	—	2	8	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	2	16	no	—
275	C₂²	—	2	16	no	—
276	C₂²	#2344	1	64	yes	direct product factor
277	C₂²	C₂²×#117	1	12	yes	—
278	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	16	yes	—
279	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	12	yes	—
280	C₂²	C₂×#519	1	12	yes	—
281	C₂²	C₂×#547	1	24	yes	—
282	C₂²	C₂×#552	1	24	yes	—
283	C₂²	C₂⁵×C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
288	C₄	—	2	8	no	—
289	C₄	—	2	16	no	—
290	C₄	—	2	16	no	—
291	C₄	—	2	16	no	—
292	C₄	—	4	16	no	—
293	C₄	—	4	8	no	—
294	C₄	C₂²×#117	1	16	yes	complemented
295	C₂	—	2	16	no	—
296	C₂	C₂×#2344	1	24	yes	direct product factor
297	C₂	C₂³×#117	1	1	yes	characteristic
298	C₂	C₂³×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂	C₂²×#519	1	1	yes	characteristic
300	C₂	C₂²×#547	1	2	yes	—
301	C₂	C₂²×#552	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁵×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#2344	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#389	C₂	semidirect
5. C₂²×#387	C₂	semidirect
8. C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
14. C₂³×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
26. #2344	C₂²	direct (N × H)
27. C₂×#389	C₂²	semidirect
28. C₂×#387	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
59. C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
76. #389	C₂³	semidirect
77. #387	C₂³	semidirect
80. C₄×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
134. C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
195. C₂²×C₄	#117	semidirect
264. C₂×C₄	C₂×#117	semidirect
276. C₂²	#2344	direct (N × H)
294. C₄	C₂²×#117	semidirect
296. C₂	C₂×#2344	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#117	2
C₂⁴×C₄⋊C₄	2
C₂×#2344	2
C₂²×#389	2
C₂²×#387	2
C₂²×#381	2
C₂²×#380	2
C₂²×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C22×#2344 #7625331

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2344 #7625331