Subgroups — C₂²×#2339 #7625334

Order 512.

27826 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₄×D₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2339	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	—	2	32	no	—
11	C₂³×#41	C₄	1	32	yes	complemented
12	C₂³×#41	C₂²	1	24	yes	—
13	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁵×C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×D₄	—	2	32	no	—
20	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	48	yes	complemented
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	#2339	C₂²	1	256	yes	direct product factor
27	C₂×#391	C₂²	1	48	yes	complemented
28	C₂×#386	C₂²	1	96	yes	complemented
29	C₂×#381	C₂²	1	48	yes	complemented
30	C₂×#380	C₂²	1	24	yes	complemented
31	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	24	yes	complemented
32	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×#95	C₂²	1	48	yes	complemented
38	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	—	2	512	no	—
41	C₂²×#41	—	2	384	no	—
42	C₂²×#41	C₂×C₄	1	384	yes	complemented
43	C₂²×#41	C₂³	1	64	yes	—
44	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
45	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
46	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂³×D₄	—	2	32	no	—
48	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
50	C₂³×D₄	D₄	1	32	yes	—
51	C₂³×D₄	C₂³	1	24	yes	—
52	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
54	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
55	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
56	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
57	C₂⁴×C₄	—	4	16	no	—
58	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
59	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
60	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂⁴×C₄	C₂³	1	48	yes	—
63	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂⁴×C₄	C₂³	1	24	yes	—
66	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×D₄	—	2	384	no	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	128	yes	complemented
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
79	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
81	#391	C₂³	1	128	yes	complemented
82	#386	C₂³	1	256	yes	complemented
83	#381	C₂³	1	128	yes	complemented
84	#380	C₂³	1	64	yes	complemented
85	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	64	yes	complemented
86	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	128	yes	complemented
92	C₂⁵	—	2	16	no	—
93	C₂⁵	—	2	8	no	—
94	C₂⁵	—	2	8	no	—
95	C₂⁵	—	2	8	no	—
96	C₂⁵	—	2	8	no	—
97	C₂⁵	—	2	4	no	—
98	C₂⁵	—	2	4	no	—
99	C₂⁵	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₂⁵	C₂²×C₄	1	16	yes	—
101	C₂⁵	C₂×D₄	1	32	yes	—
102	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
103	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
104	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×#41	—	2	3072	no	—
106	C₂×#41	—	2	512	no	—
107	C₂×#41	C₂²×C₄	1	512	yes	complemented
108	C₂²×Q₈	—	2	128	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	96	yes	complemented
111	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
112	C₂²×D₄	—	2	256	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	192	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	256	yes	complemented
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	96	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	192	yes	complemented
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	192	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	256	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	192	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	192	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	192	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	96	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	256	no	—
138	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	192	yes	complemented
142	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	96	yes	complemented
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
144	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	complemented
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
154	C₄×D₄	—	2	512	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
165	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
166	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
167	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
168	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
169	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
170	C₂⁴	—	2	64	no	—
171	C₂⁴	—	2	64	no	—
172	C₂⁴	—	2	128	no	—
173	C₂⁴	—	2	128	no	—
174	C₂⁴	—	2	48	no	—
175	C₂⁴	—	2	24	no	—
176	C₂⁴	—	2	24	no	—
177	C₂⁴	—	2	32	no	—
178	C₂⁴	—	2	32	no	—
179	C₂⁴	—	2	32	no	—
180	C₂⁴	—	2	24	no	—
181	C₂⁴	—	2	24	no	—
182	C₂⁴	—	2	12	no	—
183	C₂⁴	—	2	12	no	—
184	C₂⁴	—	4	32	no	—
185	C₂⁴	—	4	32	no	—
186	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	128	yes	—
187	C₂⁴	C₂³×C₄	1	24	yes	—
188	C₂⁴	C₂³×C₄	1	48	yes	—
189	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×D₄	1	96	yes	—
191	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
192	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
193	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
194	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
195	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
197	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
198	#41	—	2	2048	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	384	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
201	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	64	yes	complemented
202	C₂×D₄	—	2	768	no	—
203	C₂×D₄	—	2	128	no	—
204	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	768	yes	complemented
205	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	64	yes	—
206	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	128	yes	complemented
207	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	128	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	768	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	384	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	768	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	24	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	48	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	24	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	128	yes	complemented
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	64	yes	complemented
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	complemented
239	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
249	C₄²	—	2	64	no	—
250	C₂³	—	2	16	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	512	no	—
254	C₂³	—	2	96	no	—
255	C₂³	—	2	96	no	—
256	C₂³	—	2	192	no	—
257	C₂³	—	2	192	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	48	no	—
263	C₂³	—	2	48	no	—
264	C₂³	—	2	48	no	—
265	C₂³	—	4	128	no	—
266	C₂³	—	4	48	no	—
267	C₂³	—	4	48	no	—
268	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	192	yes	—
269	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
270	C₂³	C₄×#41	1	16	yes	—
271	C₂³	#520	1	16	yes	—
272	C₂³	#546	1	32	yes	—
273	C₂³	#547	1	32	yes	—
274	C₂³	C₂⁴×C₄	1	8	yes	—
275	C₂³	C₂⁴×C₄	1	16	yes	—
276	C₂³	C₂⁴×C₄	1	6	yes	—
277	C₂³	C₂³×D₄	1	32	yes	—
278	C₂³	C₂³×D₄	1	12	yes	—
279	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
280	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
281	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
282	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	2	128	no	—
284	D₄	—	2	256	no	—
285	D₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	256	yes	complemented
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	48	no	—
291	C₂×C₄	—	2	96	no	—
292	C₂×C₄	—	2	256	no	—
293	C₂×C₄	—	2	96	no	—
294	C₂×C₄	—	2	128	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	16	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	256	no	—
302	C₂×C₄	—	4	96	no	—
303	C₂×C₄	—	4	48	no	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	96	yes	—
305	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	16	yes	—
307	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	complemented
310	C₂²	—	2	384	no	—
311	C₂²	—	2	16	no	—
312	C₂²	—	2	16	no	—
313	C₂²	—	2	32	no	—
314	C₂²	—	2	32	no	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	2	8	no	—
318	C₂²	—	4	96	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	8	no	—
321	C₂²	#2339	1	64	yes	direct product factor
322	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
323	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
324	C₂²	C₂×C₄×#41	1	12	yes	—
325	C₂²	C₂×#520	1	12	yes	—
326	C₂²	C₂×#546	1	24	yes	—
327	C₂²	C₂×#547	1	24	yes	—
328	C₂²	C₂⁵×C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂⁴×D₄	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
333	C₄	—	2	8	no	—
334	C₄	—	2	16	no	—
335	C₄	—	2	16	no	—
336	C₄	—	4	16	no	—
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	C₂³×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
339	C₂	—	2	32	no	—
340	C₂	—	4	8	no	—
341	C₂	C₂×#2339	1	24	yes	direct product factor
342	C₂	C₂⁴×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂²×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂²×#520	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂²×#546	1	2	yes	—
346	C₂	C₂²×#547	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁵×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁴×#41	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. C₂×#2339	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#391	C₂	semidirect
5. C₂²×#386	C₂	semidirect
6. C₂²×#381	C₂	semidirect
7. C₂²×#380	C₂	semidirect
8. C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₂³×#95	C₂	semidirect
11. C₂³×#41	C₄	semidirect
20. C₂²×C₄×D₄	C₂²	semidirect
26. #2339	C₂²	direct (N × H)
27. C₂×#391	C₂²	semidirect
28. C₂×#386	C₂²	semidirect
29. C₂×#381	C₂²	semidirect
30. C₂×#380	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
37. C₂²×#95	C₂²	semidirect
42. C₂²×#41	C₂×C₄	semidirect
45. C₂³×Q₈	C₂×C₄	semidirect
49. C₂³×D₄	C₂×C₄	semidirect
58. C₂⁴×C₄	C₂×C₄	semidirect
59. C₂⁴×C₄	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×C₄×D₄	C₂³	semidirect
81. #391	C₂³	semidirect
82. #386	C₂³	semidirect
83. #381	C₂³	semidirect
84. #380	C₂³	semidirect
85. C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
91. C₂×#95	C₂³	semidirect
107. C₂×#41	C₂²×C₄	semidirect
110. C₂²×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
114. C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect
116. C₂²×D₄	C₂²×C₄	semidirect
141. C₂³×C₄	C₂²×C₄	semidirect
142. C₂³×C₄	C₂²×C₄	semidirect
144. C₂³×C₄	#41	semidirect
201. C₂×Q₈	C₂³×C₄	semidirect
204. C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
206. C₂×D₄	C₂³×C₄	semidirect
235. C₂²×C₄	C₂³×C₄	semidirect
236. C₂²×C₄	C₂³×C₄	semidirect
238. C₂²×C₄	C₂×#41	semidirect
285. D₄	C₂²×C₂²⋊C₄	semidirect
309. C₂×C₄	C₂²×#41	semidirect
321. C₂²	#2339	direct (N × H)
341. C₂	C₂×#2339	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×#41	2
C₂³×C₄×D₄	2
C₂×#2339	2
C₂²×#391	2
C₂²×#386	2
C₂²×#381	2
C₂²×#380	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2
C₂³×#95	2

Subgroups — C22×#2339 #7625334

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2339 #7625334