Subgroups — C₂²×#2626 #7627710

Order 512.

17594 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2626	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#399	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#396	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#379	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂⁷	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
15	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂³×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
21	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	24	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	#2626	C₂²	1	256	yes	direct product factor
29	C₂×#399	C₂²	1	48	yes	complemented
30	C₂×#396	C₂²	1	96	yes	complemented
31	C₂×#393	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×#385	C₂²	1	48	yes	complemented
33	C₂×#380	C₂²	1	24	yes	complemented
34	C₂×#379	C₂²	1	48	yes	—
35	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂⁶	—	2	8	no	—
38	C₂⁶	—	2	8	no	—
39	C₂⁶	—	4	8	no	—
40	C₂⁶	—	4	8	no	—
41	C₂⁶	Q₈	1	16	yes	complemented
42	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂⁶	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
46	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	complemented
48	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
49	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
50	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
51	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	192	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	64	yes	complemented
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	complemented
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	complemented
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	complemented
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	complemented
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	64	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
84	#399	C₂³	1	128	yes	complemented
85	#396	C₂³	1	256	yes	complemented
86	#393	C₂³	1	128	yes	complemented
87	#385	C₂³	1	128	yes	complemented
88	#380	C₂³	1	64	yes	complemented
89	#379	C₂³	1	128	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	complemented
91	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	complemented
92	C₂⁵	—	2	8	no	—
93	C₂⁵	—	2	8	no	—
94	C₂⁵	—	2	128	no	—
95	C₂⁵	—	2	8	no	—
96	C₂⁵	—	2	48	no	—
97	C₂⁵	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	—	2	48	no	—
99	C₂⁵	—	2	16	no	—
100	C₂⁵	—	2	16	no	—
101	C₂⁵	—	4	128	no	—
102	C₂⁵	—	4	48	no	—
103	C₂⁵	—	4	48	no	—
104	C₂⁵	—	4	64	no	—
105	C₂⁵	—	4	64	no	—
106	C₂⁵	—	4	128	no	—
107	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	C₂⁵	C₂×Q₈	1	16	yes	—
109	C₂⁵	C₂×Q₈	1	8	yes	—
110	C₂⁵	C₂×Q₈	1	96	yes	complemented
111	C₂⁵	#41	1	8	yes	—
112	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
113	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
114	C₂⁵	C₂⁴	1	16	yes	—
115	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
117	C₂²×Q₈	—	4	48	no	—
118	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	complemented
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
133	C₂³×C₄	—	4	48	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	48	no	—
135	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	96	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	256	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	96	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	complemented
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	complemented
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	complemented
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	complemented
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	256	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
169	#95	C₂⁴	1	32	yes	complemented
170	#95	C₂⁴	1	64	yes	complemented
171	C₂⁴	—	2	32	no	—
172	C₂⁴	—	2	32	no	—
173	C₂⁴	—	2	64	no	—
174	C₂⁴	—	2	64	no	—
175	C₂⁴	—	2	24	no	—
176	C₂⁴	—	2	24	no	—
177	C₂⁴	—	2	64	no	—
178	C₂⁴	—	2	384	no	—
179	C₂⁴	—	2	128	no	—
180	C₂⁴	—	2	24	no	—
181	C₂⁴	—	2	32	no	—
182	C₂⁴	—	2	24	no	—
183	C₂⁴	—	2	32	no	—
184	C₂⁴	—	2	48	no	—
185	C₂⁴	—	2	48	no	—
186	C₂⁴	—	4	384	no	—
187	C₂⁴	—	4	32	no	—
188	C₂⁴	—	4	32	no	—
189	C₂⁴	—	4	1024	no	—
190	C₂⁴	—	4	192	no	—
191	C₂⁴	—	4	192	no	—
192	C₂⁴	—	4	384	no	—
193	C₂⁴	—	4	32	no	—
194	C₂⁴	—	4	32	no	—
195	C₂⁴	—	4	64	no	—
196	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	64	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	24	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	48	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	64	yes	complemented
203	C₂⁴	C₂×#41	1	24	yes	—
204	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
205	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
206	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
207	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
208	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
209	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
210	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	192	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	192	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	64	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	8	no	—
256	C₂³	—	2	256	no	—
257	C₂³	—	2	48	no	—
258	C₂³	—	2	48	no	—
259	C₂³	—	2	96	no	—
260	C₂³	—	2	96	no	—
261	C₂³	—	2	8	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	16	no	—
264	C₂³	—	2	16	no	—
265	C₂³	—	2	96	no	—
266	C₂³	—	2	128	no	—
267	C₂³	—	2	192	no	—
268	C₂³	—	4	128	no	—
269	C₂³	—	4	64	no	—
270	C₂³	—	4	128	no	—
271	C₂³	—	4	64	no	—
272	C₂³	—	4	1536	no	—
273	C₂³	—	4	256	no	—
274	C₂³	—	4	48	no	—
275	C₂³	—	4	48	no	—
276	C₂³	—	4	96	no	—
277	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	96	yes	—
278	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
279	C₂³	#534	1	16	yes	—
280	C₂³	#535	1	16	yes	—
281	C₂³	#538	1	32	yes	—
282	C₂³	#543	1	32	yes	—
283	C₂³	C₂³×D₄	1	8	yes	—
284	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
285	C₂³	C₂³×Q₈	1	16	yes	—
286	C₂³	C₂³×Q₈	1	8	yes	—
287	C₂³	C₂³×Q₈	1	6	yes	—
288	C₂³	C₂²×#41	1	8	yes	—
289	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
290	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
291	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
292	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	64	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	48	no	—
297	C₂×C₄	—	2	48	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	16	no	—
307	C₂×C₄	—	4	64	no	—
308	C₂×C₄	—	4	64	no	—
309	C₂×C₄	—	4	48	no	—
310	C₂×C₄	—	4	48	no	—
311	C₂×C₄	—	4	48	no	—
312	C₂×C₄	—	4	96	no	—
313	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	—	2	16	no	—
317	C₂²	—	2	16	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	192	no	—
320	C₂²	—	2	16	no	—
321	C₂²	—	2	32	no	—
322	C₂²	—	4	256	no	—
323	C₂²	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	4	16	no	—
325	C₂²	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	4	192	no	—
327	C₂²	#2626	1	64	yes	direct product factor
328	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
329	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
330	C₂²	C₂×#534	1	12	yes	—
331	C₂²	C₂×#535	1	12	yes	—
332	C₂²	C₂×#538	1	24	yes	—
333	C₂²	C₂×#543	1	24	yes	—
334	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂⁴×Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
339	C₄	—	2	8	no	—
340	C₄	—	2	8	no	—
341	C₄	—	4	8	no	—
342	C₄	—	4	16	no	—
343	C₄	—	4	8	no	—
344	C₄	—	4	8	no	—
345	C₂	—	2	16	no	—
346	C₂	—	4	16	no	—
347	C₂	C₂×#2626	1	24	yes	direct product factor
348	C₂	C₂³×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂²×#534	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂²×#543	1	2	yes	—
351	C₂	C₂²×#538	1	2	yes	—
352	C₂	C₂²×#535	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁷	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. C₂×#2626	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#399	C₂	semidirect
5. C₂²×#396	C₂	semidirect
6. C₂²×#393	C₂	semidirect
7. C₂²×#385	C₂	semidirect
8. C₂²×#380	C₂	semidirect
11. C₂⁴×Q₈	C₂²	semidirect
15. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
16. C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
17. C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
18. C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
19. C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
28. #2626	C₂²	direct (N × H)
29. C₂×#399	C₂²	semidirect
30. C₂×#396	C₂²	semidirect
31. C₂×#393	C₂²	semidirect
32. C₂×#385	C₂²	semidirect
33. C₂×#380	C₂²	semidirect
35. C₂²×#95	C₂²	semidirect
36. C₂²×#95	C₂²	semidirect
41. C₂⁶	Q₈	semidirect
47. C₂³×Q₈	C₂³	semidirect
61. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	semidirect
66. C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
67. C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
68. C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
69. C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
84. #399	C₂³	semidirect
85. #396	C₂³	semidirect
86. #393	C₂³	semidirect
87. #385	C₂³	semidirect
88. #380	C₂³	semidirect
90. C₂×#95	C₂³	semidirect
91. C₂×#95	C₂³	semidirect
110. C₂⁵	C₂×Q₈	semidirect
119. C₂²×Q₈	C₂⁴	semidirect
152. C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	semidirect
153. C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	semidirect
154. C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	semidirect
155. C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	semidirect
169. #95	C₂⁴	semidirect
170. #95	C₂⁴	semidirect
202. C₂⁴	C₂²×Q₈	semidirect
327. C₂²	#2626	direct (N × H)
347. C₂	C₂×#2626	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊Q₈	2
C₂⁴×C₂²⋊C₄	2
C₂×#2626	2
C₂²×#399	2
C₂²×#396	2
C₂²×#393	2
C₂²×#385	2
C₂²×#380	2
C₂²×#379	2

Subgroups — C22×#2626 #7627710

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2626 #7627710