Subgroups — C₂²×#2624 #7627765

Order 512.

11738 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2624	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#399	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#397	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#394	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#121	—	2	16	no	—
14	C₂²×#121	C₂²	1	24	yes	—
15	C₂²×#117	—	2	16	no	—
16	C₂²×#117	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
28	#2624	C₂²	1	256	yes	direct product factor
29	C₂×#399	C₂²	1	48	yes	complemented
30	C₂×#397	C₂²	1	48	yes	complemented
31	C₂×#394	C₂²	1	96	yes	complemented
32	C₂×#390	C₂²	1	48	yes	complemented
33	C₂×#389	C₂²	1	48	yes	complemented
34	C₂×#380	C₂²	1	24	yes	complemented
35	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
42	C₂³×D₄	—	4	16	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	24	yes	—
45	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
46	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#121	—	2	192	no	—
55	C₂×#121	C₂³	1	64	yes	—
56	C₂×#117	—	2	192	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	64	yes	complemented
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
78	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
80	#399	C₂³	1	128	yes	complemented
81	#397	C₂³	1	128	yes	complemented
82	#394	C₂³	1	256	yes	complemented
83	#390	C₂³	1	128	yes	complemented
84	#389	C₂³	1	128	yes	complemented
85	#380	C₂³	1	64	yes	complemented
86	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
88	C₂⁵	—	2	8	no	—
89	C₂⁵	—	2	4	no	—
90	C₂⁵	—	2	8	no	—
91	C₂⁵	—	2	4	no	—
92	C₂⁵	—	2	8	no	—
93	C₂⁵	—	2	16	no	—
94	C₂⁵	—	2	8	no	—
95	C₂⁵	—	2	16	no	—
96	C₂⁵	—	2	8	no	—
97	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
99	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
100	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	96	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
107	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	96	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
134	#121	—	2	256	no	—
135	#117	—	2	256	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	96	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
156	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
158	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
159	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
160	C₂⁴	—	2	32	no	—
161	C₂⁴	—	2	32	no	—
162	C₂⁴	—	2	32	no	—
163	C₂⁴	—	2	24	no	—
164	C₂⁴	—	2	12	no	—
165	C₂⁴	—	2	24	no	—
166	C₂⁴	—	2	12	no	—
167	C₂⁴	—	2	24	no	—
168	C₂⁴	—	2	48	no	—
169	C₂⁴	—	2	24	no	—
170	C₂⁴	—	2	48	no	—
171	C₂⁴	—	2	24	no	—
172	C₂⁴	—	4	32	no	—
173	C₂⁴	—	4	32	no	—
174	C₂⁴	—	4	32	no	—
175	C₂⁴	—	4	32	no	—
176	C₂⁴	—	4	32	no	—
177	C₂⁴	—	4	64	no	—
178	C₂⁴	—	4	64	no	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	24	yes	—
180	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
181	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
182	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
183	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
184	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
185	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
186	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
188	C₂×D₄	—	2	64	no	—
189	C₂×D₄	—	2	32	no	—
190	C₂×D₄	—	2	64	no	—
191	C₂×D₄	—	4	64	no	—
192	C₂×D₄	—	4	384	no	—
193	C₂×D₄	—	4	192	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	384	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
213	C₂²×C₄	#123	1	64	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	64	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
224	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
234	C₄²	—	2	64	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	8	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	48	no	—
240	C₂³	—	2	48	no	—
241	C₂³	—	2	48	no	—
242	C₂³	—	2	8	no	—
243	C₂³	—	2	16	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	16	no	—
246	C₂³	—	2	8	no	—
247	C₂³	—	4	128	no	—
248	C₂³	—	4	48	no	—
249	C₂³	—	4	48	no	—
250	C₂³	—	4	48	no	—
251	C₂³	—	4	48	no	—
252	C₂³	—	4	48	no	—
253	C₂³	—	4	96	no	—
254	C₂³	—	4	96	no	—
255	C₂³	—	8	128	no	—
256	C₂³	C₂×#123	1	16	yes	—
257	C₂³	#535	1	16	yes	—
258	C₂³	#537	1	16	yes	—
259	C₂³	#540	1	32	yes	—
260	C₂³	#542	1	32	yes	—
261	C₂³	C₂³×D₄	1	8	yes	—
262	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
263	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
264	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
265	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
266	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
267	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
268	D₄	—	4	128	no	—
269	D₄	—	4	64	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	48	no	—
272	C₂×C₄	—	2	128	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	16	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	16	no	—
280	C₂×C₄	—	2	16	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	48	no	—
285	C₂×C₄	—	4	48	no	—
286	C₂×C₄	—	4	48	no	—
287	C₂×C₄	—	4	96	no	—
288	C₂×C₄	C₂×#123	1	96	yes	—
289	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
290	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
292	C₂²	—	2	8	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	2	8	no	—
295	C₂²	—	4	96	no	—
296	C₂²	—	4	8	no	—
297	C₂²	—	4	8	no	—
298	C₂²	—	4	8	no	—
299	C₂²	—	4	8	no	—
300	C₂²	—	4	8	no	—
301	C₂²	—	4	16	no	—
302	C₂²	—	4	16	no	—
303	C₂²	—	8	96	no	—
304	C₂²	#2624	1	64	yes	direct product factor
305	C₂²	C₂²×#123	1	12	yes	—
306	C₂²	C₂×#535	1	12	yes	—
307	C₂²	C₂×#537	1	12	yes	—
308	C₂²	C₂×#540	1	24	yes	—
309	C₂²	C₂×#542	1	24	yes	—
310	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
312	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
315	C₄	—	2	8	no	—
316	C₄	—	4	8	no	—
317	C₄	—	4	8	no	—
318	C₄	—	4	8	no	—
319	C₄	—	4	16	no	—
320	C₄	C₂²×#123	1	16	yes	—
321	C₂	—	4	8	no	—
322	C₂	—	8	8	no	—
323	C₂	C₂×#2624	1	24	yes	direct product factor
324	C₂	C₂³×#123	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂²×#535	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂²×#537	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂²×#540	1	2	yes	—
328	C₂	C₂²×#542	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂³×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×#117	C₂	semidirect
3. C₂×#2624	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#399	C₂	semidirect
5. C₂²×#397	C₂	semidirect
6. C₂²×#394	C₂	semidirect
7. C₂²×#390	C₂	semidirect
8. C₂²×#389	C₂	semidirect
9. C₂²×#380	C₂	semidirect
16. C₂²×#117	C₂²	semidirect
28. #2624	C₂²	direct (N × H)
29. C₂×#399	C₂²	semidirect
30. C₂×#397	C₂²	semidirect
31. C₂×#394	C₂²	semidirect
32. C₂×#390	C₂²	semidirect
33. C₂×#389	C₂²	semidirect
34. C₂×#380	C₂²	semidirect
57. C₂×#117	C₂³	semidirect
80. #399	C₂³	semidirect
81. #397	C₂³	semidirect
82. #394	C₂³	semidirect
83. #390	C₂³	semidirect
84. #389	C₂³	semidirect
85. #380	C₂³	semidirect
304. C₂²	#2624	direct (N × H)
323. C₂	C₂×#2624	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#121	2
C₂³×#117	2
C₂×#2624	2
C₂²×#399	2
C₂²×#397	2
C₂²×#394	2
C₂²×#390	2
C₂²×#389	2
C₂²×#380	2

Subgroups — C22×#2624 #7627765

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2624 #7627765