Subgroups — C₂²×#2499 #7627955

Order 512.

10042 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 327 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2499	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#397	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂²×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#387	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	24	yes	—
15	C₂²×#117	—	2	16	no	—
16	C₂²×#117	C₂²	1	24	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2499	C₂²	1	256	yes	direct product factor
29	C₂×#397	C₂²	1	96	yes	—
30	C₂×#391	C₂²	1	24	yes	complemented
31	C₂×#391	C₂²	1	24	yes	complemented
32	C₂×#387	C₂²	1	96	yes	complemented
33	C₂×#384	C₂²	1	24	yes	complemented
34	C₂×#382	C₂²	1	24	yes	complemented
35	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	24	yes	—
36	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
42	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
46	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
47	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	192	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	64	yes	—
59	C₂×#117	—	2	192	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	64	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
77	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
78	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
83	#397	C₂³	1	256	yes	—
84	#391	C₂³	1	64	yes	complemented
85	#391	C₂³	1	64	yes	complemented
86	#387	C₂³	1	256	yes	complemented
87	#384	C₂³	1	64	yes	complemented
88	#382	C₂³	1	64	yes	complemented
89	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	64	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
94	C₂⁵	—	2	8	no	—
95	C₂⁵	—	2	4	no	—
96	C₂⁵	—	2	4	no	—
97	C₂⁵	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
100	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
104	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
105	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	96	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
129	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
130	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	256	no	—
141	#117	—	2	256	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	192	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
164	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
165	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
166	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
167	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
168	C₂⁴	—	2	32	no	—
169	C₂⁴	—	2	32	no	—
170	C₂⁴	—	2	32	no	—
171	C₂⁴	—	2	24	no	—
172	C₂⁴	—	2	12	no	—
173	C₂⁴	—	2	12	no	—
174	C₂⁴	—	2	24	no	—
175	C₂⁴	—	4	32	no	—
176	C₂⁴	—	4	32	no	—
177	C₂⁴	C₂²×D₄	1	24	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
179	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
180	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
181	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
182	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
183	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
184	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
185	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	384	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
215	C₂²×C₄	#123	1	64	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	64	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
238	C₄²	—	2	64	no	—
239	C₄²	—	2	32	no	—
240	C₄²	—	2	32	no	—
241	C₂³	—	2	8	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	48	no	—
246	C₂³	—	2	48	no	—
247	C₂³	—	2	48	no	—
248	C₂³	—	4	48	no	—
249	C₂³	—	4	48	no	—
250	C₂³	—	4	128	no	—
251	C₂³	C₂×#123	1	16	yes	—
252	C₂³	#532	1	16	yes	—
253	C₂³	#536	1	16	yes	—
254	C₂³	#552	1	32	yes	—
255	C₂³	#556	1	32	yes	—
256	C₂³	C₂³×D₄	1	8	yes	—
257	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
258	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
259	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
260	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
261	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	12	yes	—
262	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
263	Q₈	—	4	64	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	48	no	—
269	C₂×C₄	—	2	96	no	—
270	C₂×C₄	—	2	128	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	16	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	48	no	—
284	C₂×C₄	—	4	48	no	—
285	C₂×C₄	—	4	48	no	—
286	C₂×C₄	—	4	48	no	—
287	C₂×C₄	—	4	48	no	—
288	C₂×C₄	C₂×#123	1	96	yes	—
289	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
290	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
294	C₂²	—	2	8	no	—
295	C₂²	—	2	8	no	—
296	C₂²	—	2	8	no	—
297	C₂²	—	4	96	no	—
298	C₂²	—	4	8	no	—
299	C₂²	—	4	8	no	—
300	C₂²	#2499	1	64	yes	direct product factor
301	C₂²	C₂²×#123	1	12	yes	—
302	C₂²	C₂×#532	1	12	yes	—
303	C₂²	C₂×#536	1	12	yes	—
304	C₂²	C₂×#552	1	24	yes	—
305	C₂²	C₂×#556	1	24	yes	—
306	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
311	C₄	—	2	8	no	—
312	C₄	—	2	16	no	—
313	C₄	—	4	8	no	—
314	C₄	—	4	8	no	—
315	C₄	—	4	8	no	—
316	C₄	—	4	8	no	—
317	C₄	—	4	8	no	—
318	C₄	C₂²×#123	1	16	yes	—
319	C₂	—	4	8	no	—
320	C₂	C₂×#2499	1	24	yes	direct product factor
321	C₂	C₂³×#123	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂²×#532	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂²×#536	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂²×#552	1	2	yes	—
325	C₂	C₂²×#556	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#2499	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#391	C₂	semidirect
6. C₂²×#391	C₂	semidirect
7. C₂²×#387	C₂	semidirect
8. C₂²×#384	C₂	semidirect
9. C₂²×#382	C₂	semidirect
28. #2499	C₂²	direct (N × H)
30. C₂×#391	C₂²	semidirect
31. C₂×#391	C₂²	semidirect
32. C₂×#387	C₂²	semidirect
33. C₂×#384	C₂²	semidirect
34. C₂×#382	C₂²	semidirect
84. #391	C₂³	semidirect
85. #391	C₂³	semidirect
86. #387	C₂³	semidirect
87. #384	C₂³	semidirect
88. #382	C₂³	semidirect
300. C₂²	#2499	direct (N × H)
320. C₂	C₂×#2499	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊Q₈	2
C₂³×#117	2
C₂×#2499	2
C₂²×#397	2
C₂²×#391	2
C₂²×#387	2
C₂²×#384	2
C₂²×#382	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C22×#2499 #7627955

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2499 #7627955