Subgroups — C₂²×#2500 #7627959

Order 512.

12130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2500	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#394	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#388	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#121	—	2	16	no	—
15	C₂²×#121	C₂²	1	24	yes	—
16	C₂²×#117	—	2	16	no	—
17	C₂²×#117	C₂²	1	24	yes	complemented
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2500	C₂²	1	256	yes	direct product factor
31	C₂×#394	C₂²	1	96	yes	complemented
32	C₂×#390	C₂²	1	24	yes	complemented
33	C₂×#390	C₂²	1	24	yes	complemented
34	C₂×#388	C₂²	1	96	yes	complemented
35	C₂×#384	C₂²	1	24	yes	complemented
36	C₂×#382	C₂²	1	24	yes	complemented
37	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	24	yes	complemented
38	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
46	C₂³×D₄	—	4	16	no	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	24	yes	—
49	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
50	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
51	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#121	—	2	192	no	—
61	C₂×#121	C₂³	1	64	yes	—
62	C₂×#117	—	2	192	no	—
63	C₂×#117	C₂³	1	64	yes	complemented
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
82	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
83	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
84	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
88	#394	C₂³	1	256	yes	complemented
89	#390	C₂³	1	64	yes	complemented
90	#390	C₂³	1	64	yes	complemented
91	#388	C₂³	1	256	yes	complemented
92	#384	C₂³	1	64	yes	complemented
93	#382	C₂³	1	64	yes	complemented
94	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	64	yes	complemented
95	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
97	C₂⁵	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	—	2	4	no	—
99	C₂⁵	—	2	4	no	—
100	C₂⁵	—	2	8	no	—
101	C₂⁵	—	2	8	no	—
102	C₂⁵	—	2	16	no	—
103	C₂⁵	—	2	8	no	—
104	C₂⁵	—	2	8	no	—
105	C₂⁵	—	2	16	no	—
106	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
107	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
108	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
109	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	96	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
117	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	96	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
139	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
149	#121	—	2	256	no	—
150	#117	—	2	256	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	96	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
175	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
176	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
177	C₂⁴	—	2	32	no	—
178	C₂⁴	—	2	32	no	—
179	C₂⁴	—	2	32	no	—
180	C₂⁴	—	2	24	no	—
181	C₂⁴	—	2	12	no	—
182	C₂⁴	—	2	12	no	—
183	C₂⁴	—	2	24	no	—
184	C₂⁴	—	2	24	no	—
185	C₂⁴	—	2	48	no	—
186	C₂⁴	—	2	24	no	—
187	C₂⁴	—	2	24	no	—
188	C₂⁴	—	2	48	no	—
189	C₂⁴	—	4	32	no	—
190	C₂⁴	—	4	32	no	—
191	C₂⁴	—	4	32	no	—
192	C₂⁴	—	4	32	no	—
193	C₂⁴	—	4	32	no	—
194	C₂⁴	—	4	64	no	—
195	C₂⁴	—	4	64	no	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	24	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
198	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
199	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
200	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
201	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
202	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
203	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
204	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
205	C₂×D₄	—	2	64	no	—
206	C₂×D₄	—	2	32	no	—
207	C₂×D₄	—	2	32	no	—
208	C₂×D₄	—	2	32	no	—
209	C₂×D₄	—	4	64	no	—
210	C₂×D₄	—	4	384	no	—
211	C₂×D₄	—	4	192	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	384	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
234	C₂²×C₄	#123	1	64	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	64	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
257	C₄²	—	2	64	no	—
258	C₄²	—	2	32	no	—
259	C₄²	—	2	32	no	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	48	no	—
265	C₂³	—	2	48	no	—
266	C₂³	—	2	48	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	16	no	—
272	C₂³	—	4	48	no	—
273	C₂³	—	4	48	no	—
274	C₂³	—	4	128	no	—
275	C₂³	—	4	48	no	—
276	C₂³	—	4	48	no	—
277	C₂³	—	4	48	no	—
278	C₂³	—	4	96	no	—
279	C₂³	—	4	96	no	—
280	C₂³	—	8	128	no	—
281	C₂³	C₂×#123	1	16	yes	—
282	C₂³	#532	1	16	yes	—
283	C₂³	#535	1	16	yes	—
284	C₂³	#553	1	32	yes	—
285	C₂³	#555	1	32	yes	—
286	C₂³	C₂³×D₄	1	8	yes	—
287	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
288	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
289	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
290	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
291	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
292	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
293	D₄	—	4	128	no	—
294	D₄	—	4	64	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	48	no	—
300	C₂×C₄	—	2	96	no	—
301	C₂×C₄	—	2	128	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	16	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	4	48	no	—
312	C₂×C₄	—	4	48	no	—
313	C₂×C₄	—	4	48	no	—
314	C₂×C₄	—	4	48	no	—
315	C₂×C₄	C₂×#123	1	96	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
321	C₂²	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	8	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	4	96	no	—
325	C₂²	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	4	16	no	—
331	C₂²	—	4	16	no	—
332	C₂²	—	8	96	no	—
333	C₂²	#2500	1	64	yes	direct product factor
334	C₂²	C₂²×#123	1	12	yes	—
335	C₂²	C₂×#532	1	12	yes	—
336	C₂²	C₂×#535	1	12	yes	—
337	C₂²	C₂×#553	1	24	yes	—
338	C₂²	C₂×#555	1	24	yes	—
339	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
344	C₄	—	2	8	no	—
345	C₄	—	2	16	no	—
346	C₄	—	4	8	no	—
347	C₄	—	4	8	no	—
348	C₄	—	4	8	no	—
349	C₄	—	4	8	no	—
350	C₄	C₂²×#123	1	16	yes	—
351	C₂	—	4	8	no	—
352	C₂	—	8	8	no	—
353	C₂	C₂×#2500	1	24	yes	direct product factor
354	C₂	C₂³×#123	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂²×#532	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂²×#535	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂²×#553	1	2	yes	—
358	C₂	C₂²×#555	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂³×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×#117	C₂	semidirect
3. C₂×#2500	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#394	C₂	semidirect
5. C₂²×#390	C₂	semidirect
6. C₂²×#390	C₂	semidirect
7. C₂²×#388	C₂	semidirect
8. C₂²×#384	C₂	semidirect
9. C₂²×#382	C₂	semidirect
10. C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
17. C₂²×#117	C₂²	semidirect
30. #2500	C₂²	direct (N × H)
31. C₂×#394	C₂²	semidirect
32. C₂×#390	C₂²	semidirect
33. C₂×#390	C₂²	semidirect
34. C₂×#388	C₂²	semidirect
35. C₂×#384	C₂²	semidirect
36. C₂×#382	C₂²	semidirect
37. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
63. C₂×#117	C₂³	semidirect
88. #394	C₂³	semidirect
89. #390	C₂³	semidirect
90. #390	C₂³	semidirect
91. #388	C₂³	semidirect
92. #384	C₂³	semidirect
93. #382	C₂³	semidirect
94. C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
333. C₂²	#2500	direct (N × H)
353. C₂	C₂×#2500	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#121	2
C₂³×#117	2
C₂×#2500	2
C₂²×#394	2
C₂²×#390	2
C₂²×#388	2
C₂²×#384	2
C₂²×#382	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C22×#2500 #7627959

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2500 #7627959