Subgroups — C₂²×#2572 #7628009

Order 512.

9530 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2572	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
2	C₂²×#400	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#394	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#386	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×#383	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2572	C₂²	1	256	yes	direct product factor
24	C₂×#400	C₂²	1	24	yes	complemented
25	C₂×#394	C₂²	1	24	yes	—
26	C₂×#393	C₂²	1	48	yes	complemented
27	C₂×#391	C₂²	1	24	yes	complemented
28	C₂×#388	C₂²	1	48	yes	complemented
29	C₂×#386	C₂²	1	48	yes	—
30	C₂×#383	C₂²	1	48	yes	complemented
31	C₂×#381	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	48	yes	complemented
33	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
44	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
45	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
46	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
48	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
51	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
52	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	24	yes	—
60	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
76	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
77	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
80	#400	C₂³	1	64	yes	complemented
81	#394	C₂³	1	64	yes	—
82	#393	C₂³	1	128	yes	complemented
83	#391	C₂³	1	64	yes	complemented
84	#388	C₂³	1	128	yes	complemented
85	#386	C₂³	1	128	yes	—
86	#383	C₂³	1	128	yes	complemented
87	#381	C₂³	1	128	yes	complemented
88	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	128	yes	complemented
89	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
98	C₂⁵	—	2	8	no	—
99	C₂⁵	—	2	8	no	—
100	C₂⁵	—	2	8	no	—
101	C₂⁵	—	2	8	no	—
102	C₂⁵	—	2	8	no	—
103	C₂⁵	—	2	8	no	—
104	C₂⁵	#41	1	16	yes	—
105	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
106	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
111	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
112	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
115	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
138	C₂³×C₄	—	4	48	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	128	no	—
140	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
165	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
169	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
170	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
171	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
172	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
173	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
174	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
175	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
176	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
177	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
178	C₂⁴	—	2	64	no	—
179	C₂⁴	—	2	64	no	—
180	C₂⁴	—	2	64	no	—
181	C₂⁴	—	2	24	no	—
182	C₂⁴	—	2	24	no	—
183	C₂⁴	—	2	24	no	—
184	C₂⁴	—	2	24	no	—
185	C₂⁴	—	2	24	no	—
186	C₂⁴	—	2	24	no	—
187	C₂⁴	—	4	32	no	—
188	C₂⁴	—	4	32	no	—
189	C₂⁴	—	4	32	no	—
190	C₂⁴	—	4	32	no	—
191	C₂⁴	C₂×#41	1	48	yes	—
192	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
193	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
194	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
195	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
196	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
197	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
198	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
199	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
203	C₂×D₄	—	2	64	no	—
204	C₂×D₄	—	4	16	no	—
205	C₂×D₄	—	4	192	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	384	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
255	C₄²	—	2	64	no	—
256	C₄²	—	4	16	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	8	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	96	no	—
264	C₂³	—	2	96	no	—
265	C₂³	—	2	96	no	—
266	C₂³	—	4	256	no	—
267	C₂³	—	4	48	no	—
268	C₂³	—	4	48	no	—
269	C₂³	—	4	48	no	—
270	C₂³	—	4	48	no	—
271	C₂³	#529	1	32	yes	—
272	C₂³	#538	1	16	yes	—
273	C₂³	#551	1	32	yes	—
274	C₂³	#551	1	16	yes	—
275	C₂³	#555	1	16	yes	—
276	C₂³	C₂²×#41	1	16	yes	—
277	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
278	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
279	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
280	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
281	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
282	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	4	64	no	—
284	D₄	—	4	64	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	48	no	—
290	C₂×C₄	—	2	96	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	128	no	—
308	C₂×C₄	—	4	48	no	—
309	C₂×C₄	—	4	48	no	—
310	C₂×C₄	—	4	24	no	—
311	C₂×C₄	—	4	48	no	—
312	C₂×C₄	—	4	24	no	—
313	C₂×C₄	—	4	48	no	—
314	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
316	C₂²	—	2	16	no	—
317	C₂²	—	2	16	no	—
318	C₂²	—	2	16	no	—
319	C₂²	—	4	192	no	—
320	C₂²	—	4	8	no	—
321	C₂²	—	4	8	no	—
322	C₂²	—	4	8	no	—
323	C₂²	—	4	8	no	—
324	C₂²	#2572	1	64	yes	direct product factor
325	C₂²	C₂×#529	1	24	yes	—
326	C₂²	C₂×#538	1	12	yes	—
327	C₂²	C₂×#551	1	24	yes	—
328	C₂²	C₂×#551	1	12	yes	—
329	C₂²	C₂×#555	1	12	yes	—
330	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
335	C₄	—	2	8	no	—
336	C₄	—	2	16	no	—
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	—	4	8	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	4	8	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₂	—	4	16	no	—
344	C₂	C₂×#2572	1	24	yes	direct product factor
345	C₂	C₂²×#529	1	2	yes	—
346	C₂	C₂²×#538	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂²×#551	1	2	yes	—
348	C₂	C₂²×#551	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂²×#555	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2572	C₂	direct (N × H)
2. C₂²×#400	C₂	semidirect
4. C₂²×#393	C₂	semidirect
5. C₂²×#391	C₂	semidirect
6. C₂²×#388	C₂	semidirect
8. C₂²×#383	C₂	semidirect
9. C₂²×#381	C₂	semidirect
10. C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
23. #2572	C₂²	direct (N × H)
24. C₂×#400	C₂²	semidirect
26. C₂×#393	C₂²	semidirect
27. C₂×#391	C₂²	semidirect
28. C₂×#388	C₂²	semidirect
30. C₂×#383	C₂²	semidirect
31. C₂×#381	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
80. #400	C₂³	semidirect
82. #393	C₂³	semidirect
83. #391	C₂³	semidirect
84. #388	C₂³	semidirect
86. #383	C₂³	semidirect
87. #381	C₂³	semidirect
88. C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
324. C₂²	#2572	direct (N × H)
344. C₂	C₂×#2572	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2572	2
C₂²×#400	2
C₂²×#394	2
C₂²×#393	2
C₂²×#391	2
C₂²×#388	2
C₂²×#386	2
C₂²×#383	2
C₂²×#381	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C22×#2572 #7628009

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2572 #7628009