Subgroups — C₂²×#2580 #7628057

Order 512.

12234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 309 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2580	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#399	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#390	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂²×#389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#385	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂²×C₄×D₄	—	2	16	no	—
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	24	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2580	C₂²	1	256	yes	direct product factor
28	C₂×#399	C₂²	1	48	yes	complemented
29	C₂×#393	C₂²	1	48	yes	complemented
30	C₂×#390	C₂²	1	48	yes	—
31	C₂×#389	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×#385	C₂²	1	96	yes	complemented
33	C₂×#382	C₂²	1	24	yes	complemented
34	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
39	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
43	C₂³×D₄	Q₈	1	16	yes	complemented
44	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
46	C₂⁴×C₄	—	4	16	no	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	24	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	192	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	64	yes	complemented
57	C₂×C₄×D₄	—	2	192	no	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	64	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
75	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
76	C₂²×C₄²	D₄	1	16	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
79	#399	C₂³	1	128	yes	complemented
80	#393	C₂³	1	128	yes	complemented
81	#390	C₂³	1	128	yes	—
82	#389	C₂³	1	128	yes	complemented
83	#385	C₂³	1	256	yes	complemented
84	#382	C₂³	1	64	yes	complemented
85	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
88	C₂⁵	—	2	8	no	—
89	C₂⁵	—	2	16	no	—
90	C₂⁵	—	2	8	no	—
91	C₂⁵	—	2	16	no	—
92	C₂⁵	C₂×Q₈	1	16	yes	—
93	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
94	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Q₈	—	2	128	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
98	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
99	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
102	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	96	yes	complemented
103	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	96	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	128	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
123	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
124	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
133	C₄×Q₈	—	2	256	no	—
134	C₄×D₄	—	2	256	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	96	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
151	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	96	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
155	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
156	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
157	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
158	C₂⁴	—	2	64	no	—
159	C₂⁴	—	2	128	no	—
160	C₂⁴	—	2	24	no	—
161	C₂⁴	—	2	48	no	—
162	C₂⁴	—	2	24	no	—
163	C₂⁴	—	2	48	no	—
164	C₂⁴	—	4	32	no	—
165	C₂⁴	—	4	32	no	—
166	C₂⁴	—	4	64	no	—
167	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
168	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	48	yes	—
169	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
172	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
173	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
174	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
175	C₂×Q₈	—	2	384	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
178	C₂×D₄	—	2	384	no	—
179	C₂×D₄	—	2	32	no	—
180	C₂×D₄	—	2	32	no	—
181	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	64	yes	complemented
182	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	384	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
203	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	64	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
217	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
225	C₄²	—	2	64	no	—
226	C₄²	C₂²×D₄	1	64	yes	—
227	C₂³	—	2	8	no	—
228	C₂³	—	2	16	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	16	no	—
231	C₂³	—	2	96	no	—
232	C₂³	—	2	192	no	—
233	C₂³	—	4	256	no	—
234	C₂³	—	4	48	no	—
235	C₂³	—	4	48	no	—
236	C₂³	—	4	96	no	—
237	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
238	C₂³	#525	1	16	yes	—
239	C₂³	#535	1	16	yes	—
240	C₂³	#554	1	32	yes	—
241	C₂³	#559	1	32	yes	—
242	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
243	C₂³	C₂³×Q₈	1	16	yes	—
244	C₂³	C₂³×Q₈	1	6	yes	—
245	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
246	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
247	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
248	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
249	Q₈	—	2	128	no	—
250	D₄	—	2	128	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	48	no	—
256	C₂×C₄	—	2	96	no	—
257	C₂×C₄	—	2	48	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	16	no	—
261	C₂×C₄	—	2	16	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	16	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	16	no	—
266	C₂×C₄	—	4	128	no	—
267	C₂×C₄	—	4	48	no	—
268	C₂×C₄	—	4	48	no	—
269	C₂×C₄	—	4	96	no	—
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	96	yes	—
271	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
272	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
273	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
274	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	8	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
277	C₂²	—	2	16	no	—
278	C₂²	—	2	32	no	—
279	C₂²	—	4	192	no	—
280	C₂²	—	4	8	no	—
281	C₂²	—	4	8	no	—
282	C₂²	—	4	16	no	—
283	C₂²	#2580	1	64	yes	direct product factor
284	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
285	C₂²	C₂×#525	1	12	yes	—
286	C₂²	C₂×#535	1	12	yes	—
287	C₂²	C₂×#554	1	24	yes	—
288	C₂²	C₂×#559	1	24	yes	—
289	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂⁴×Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
293	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₄	—	2	8	no	—
295	C₄	—	2	16	no	—
296	C₄	—	2	8	no	—
297	C₄	—	4	8	no	—
298	C₄	—	4	8	no	—
299	C₄	—	4	16	no	—
300	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
301	C₂	—	4	16	no	—
302	C₂	C₂×#2580	1	24	yes	direct product factor
303	C₂	C₂³×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂	C₂²×#525	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂²×#535	1	1	yes	characteristic
306	C₂	C₂²×#554	1	2	yes	—
307	C₂	C₂²×#559	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₄×Q₈	C₂	semidirect
3. C₂×#2580	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#399	C₂	semidirect
5. C₂²×#393	C₂	semidirect
7. C₂²×#389	C₂	semidirect
8. C₂²×#385	C₂	semidirect
9. C₂²×#382	C₂	semidirect
14. C₂²×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. #2580	C₂²	direct (N × H)
28. C₂×#399	C₂²	semidirect
29. C₂×#393	C₂²	semidirect
31. C₂×#389	C₂²	semidirect
32. C₂×#385	C₂²	semidirect
33. C₂×#382	C₂²	semidirect
43. C₂³×D₄	Q₈	semidirect
56. C₂×C₄×Q₈	C₂³	semidirect
79. #399	C₂³	semidirect
80. #393	C₂³	semidirect
82. #389	C₂³	semidirect
83. #385	C₂³	semidirect
84. #382	C₂³	semidirect
102. C₂²×D₄	C₂×Q₈	semidirect
181. C₂×D₄	C₂²×Q₈	semidirect
283. C₂²	#2580	direct (N × H)
302. C₂	C₂×#2580	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×Q₈	2
C₂³×C₄×D₄	2
C₂×#2580	2
C₂²×#399	2
C₂²×#393	2
C₂²×#390	2
C₂²×#389	2
C₂²×#385	2
C₂²×#382	2

Subgroups — C22×#2580 #7628057

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2580 #7628057