Subgroups — C₂²×#2538 #7628094

Order 512.

13994 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂³×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2538	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#396	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#390	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂²×#389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	48	yes	complemented
15	C₂²×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂²×C₄×D₄	—	2	16	no	—
18	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	24	yes	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2538	C₂²	1	256	yes	direct product factor
32	C₂×#396	C₂²	1	96	yes	complemented
33	C₂×#390	C₂²	1	48	yes	—
34	C₂×#389	C₂²	1	48	yes	complemented
35	C₂×#384	C₂²	1	24	yes	complemented
36	C₂×#380	C₂²	1	48	yes	complemented
37	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
40	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂³×Q₈	D₄	1	16	yes	complemented
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
43	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×D₄	Q₈	1	16	yes	complemented
46	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
48	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
49	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	24	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	384	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	128	yes	complemented
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	192	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	64	yes	complemented
62	C₂×C₄×D₄	—	2	192	no	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	64	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
84	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
85	C₂²×C₄²	D₄	1	16	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
88	#396	C₂³	1	256	yes	complemented
89	#390	C₂³	1	128	yes	—
90	#389	C₂³	1	128	yes	complemented
91	#384	C₂³	1	64	yes	complemented
92	#380	C₂³	1	128	yes	complemented
93	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
94	C₂⁵	—	2	8	no	—
95	C₂⁵	—	2	8	no	—
96	C₂⁵	—	2	8	no	—
97	C₂⁵	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	—	2	8	no	—
99	C₂⁵	—	2	8	no	—
100	C₂⁵	C₂×Q₈	1	16	yes	—
101	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
102	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Q₈	—	2	128	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
107	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
108	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	96	yes	complemented
112	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	128	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	512	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	256	no	—
148	C₄×D₄	—	2	256	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	192	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	96	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
173	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
174	C₂⁴	—	2	64	no	—
175	C₂⁴	—	2	64	no	—
176	C₂⁴	—	2	64	no	—
177	C₂⁴	—	2	24	no	—
178	C₂⁴	—	2	24	no	—
179	C₂⁴	—	2	24	no	—
180	C₂⁴	—	2	24	no	—
181	C₂⁴	—	2	24	no	—
182	C₂⁴	—	2	24	no	—
183	C₂⁴	—	4	32	no	—
184	C₂⁴	—	4	32	no	—
185	C₂⁴	—	4	32	no	—
186	C₂⁴	—	4	32	no	—
187	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
188	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
189	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	48	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
192	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
193	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
194	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
195	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
196	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
197	C₂×Q₈	—	2	384	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
200	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	64	yes	complemented
201	C₂×D₄	—	2	384	no	—
202	C₂×D₄	—	2	32	no	—
203	C₂×D₄	—	2	32	no	—
204	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	64	yes	complemented
205	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	384	no	—
227	C₂²×C₄	#121	1	64	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	64	yes	complemented
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
254	C₄²	—	2	64	no	—
255	C₄²	C₂²×D₄	1	64	yes	—
256	C₂³	—	2	8	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	8	no	—
262	C₂³	—	2	96	no	—
263	C₂³	—	2	96	no	—
264	C₂³	—	2	96	no	—
265	C₂³	—	4	48	no	—
266	C₂³	—	4	48	no	—
267	C₂³	—	4	48	no	—
268	C₂³	—	4	48	no	—
269	C₂³	—	4	256	no	—
270	C₂³	C₂×#121	1	16	yes	—
271	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
272	C₂³	#537	1	16	yes	—
273	C₂³	D₄×Q₈	1	16	yes	—
274	C₂³	#550	1	16	yes	—
275	C₂³	#554	1	16	yes	—
276	C₂³	#556	1	16	yes	—
277	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
278	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
279	C₂³	C₂³×Q₈	1	16	yes	—
280	C₂³	C₂³×Q₈	1	6	yes	—
281	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
282	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
283	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
284	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
285	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
286	Q₈	—	2	128	no	—
287	D₄	—	2	128	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	96	no	—
293	C₂×C₄	—	2	48	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	48	no	—
304	C₂×C₄	—	4	48	no	—
305	C₂×C₄	—	4	96	no	—
306	C₂×C₄	—	4	128	no	—
307	C₂×C₄	C₂×#121	1	96	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	96	yes	complemented
309	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
317	C₂²	—	2	16	no	—
318	C₂²	—	2	16	no	—
319	C₂²	—	2	16	no	—
320	C₂²	—	4	192	no	—
321	C₂²	—	4	8	no	—
322	C₂²	—	4	8	no	—
323	C₂²	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	4	8	no	—
325	C₂²	#2538	1	64	yes	direct product factor
326	C₂²	C₂²×#121	1	12	yes	—
327	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
328	C₂²	C₂×#537	1	12	yes	—
329	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	12	yes	—
330	C₂²	C₂×#550	1	12	yes	—
331	C₂²	C₂×#554	1	12	yes	—
332	C₂²	C₂×#556	1	12	yes	—
333	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂⁴×Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	2	16	no	—
341	C₄	—	2	8	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₄	—	4	8	no	—
344	C₄	—	4	16	no	—
345	C₄	C₂²×#121	1	16	yes	—
346	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
347	C₂	—	4	16	no	—
348	C₂	C₂×#2538	1	24	yes	direct product factor
349	C₂	C₂³×#121	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂³×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂²×#537	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂²×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂²×#550	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂²×#554	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂²×#556	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
2. C₂³×C₄×Q₈	C₂	semidirect
4. C₂×#2538	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#396	C₂	semidirect
7. C₂²×#389	C₂	semidirect
8. C₂²×#384	C₂	semidirect
9. C₂²×#380	C₂	semidirect
14. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
16. C₂²×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
31. #2538	C₂²	direct (N × H)
32. C₂×#396	C₂²	semidirect
34. C₂×#389	C₂²	semidirect
35. C₂×#384	C₂²	semidirect
36. C₂×#380	C₂²	semidirect
41. C₂³×Q₈	D₄	semidirect
45. C₂³×D₄	Q₈	semidirect
59. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	semidirect
61. C₂×C₄×Q₈	C₂³	semidirect
88. #396	C₂³	semidirect
90. #389	C₂³	semidirect
91. #384	C₂³	semidirect
92. #380	C₂³	semidirect
106. C₂²×Q₈	C₂×D₄	semidirect
111. C₂²×D₄	C₂×Q₈	semidirect
200. C₂×Q₈	C₂²×D₄	semidirect
204. C₂×D₄	C₂²×Q₈	semidirect
228. C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect
308. C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	semidirect
325. C₂²	#2538	direct (N × H)
346. C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	semidirect
348. C₂	C₂×#2538	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊Q₈	2
C₂³×C₄×Q₈	2
C₂³×C₄×D₄	2
C₂×#2538	2
C₂²×#396	2
C₂²×#390	2
C₂²×#389	2
C₂²×#384	2
C₂²×#380	2

Subgroups — C22×#2538 #7628094

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2538 #7628094