Subgroups — #7629144

Order 512.

14058 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 319 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3449	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#525	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#35634	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
4	#35565	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#35463	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#35390	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#34936	C₂	1	24	yes	maximal, complemented
8	#33996	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×#41	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3449	—	2	48	no	—
12	C₂×#537	C₂²	1	12	yes	complemented
13	C₂×#536	C₂²	1	12	yes	complemented
14	C₂×#535	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂×#534	C₂²	1	12	yes	—
16	C₂×#532	C₂²	1	12	yes	complemented
17	C₂×#525	—	2	48	no	—
18	C₂×#525	C₂²	1	24	yes	complemented
19	C₂×#525	C₂²	1	24	yes	complemented
20	C₂×#525	C₂²	1	24	yes	complemented
21	C₂²×#123	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	6	yes	complemented
23	C₂²×#121	C₂²	1	6	yes	complemented
24	C₂²×#120	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
27	#2542	C₂²	1	48	yes	complemented
28	#2541	C₂²	1	48	yes	complemented
29	#2540	C₂²	1	96	yes	complemented
30	#2539	C₂²	1	48	yes	complemented
31	#2539	C₂²	1	48	yes	complemented
32	#2501	C₂²	1	48	yes	complemented
33	#2433	C₂²	1	48	yes	complemented
34	#2397	C₂²	1	32	yes	complemented
35	C₄×#127	C₂²	1	32	yes	complemented
36	#2274	C₂²	1	12	yes	complemented
37	#2273	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄×#117	C₂²	1	12	yes	complemented
39	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#41	—	2	24	no	—
41	C₂²×#41	—	2	48	no	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	12	yes	—
43	C₂²×#41	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂⁴×C₄	—	2	24	no	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#537	—	2	96	no	—
55	#536	—	2	96	no	—
56	#535	—	2	96	no	—
57	#534	—	2	96	no	—
58	#532	—	2	96	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	complemented
60	C₂×#127	C₂³	1	32	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	12	yes	complemented
62	C₂×#124	C₂³	1	24	yes	complemented
63	#525	—	2	192	no	—
64	#525	—	2	192	no	—
65	#525	—	2	192	no	—
66	C₂×#123	—	2	48	no	—
67	C₂×#123	C₂³	1	48	yes	—
68	C₂×#123	C₂³	1	48	yes	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	48	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	48	yes	complemented
72	C₂×#121	—	2	48	no	—
73	C₂×#121	C₂³	1	48	yes	—
74	C₂×#121	C₂³	1	48	yes	—
75	C₂×#121	C₂³	1	48	yes	complemented
76	C₂×#120	—	2	48	no	—
77	C₂×#120	C₂³	1	48	yes	—
78	C₂×#120	C₂³	1	48	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	96	no	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	48	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	48	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	48	yes	complemented
83	C₂×#117	D₄	1	48	yes	complemented
84	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
89	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
90	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
92	#399	C₂³	1	32	yes	—
93	#399	C₂³	1	96	yes	complemented
94	#392	C₂³	1	96	yes	—
95	#392	C₂³	1	32	yes	complemented
96	#390	C₂³	1	96	yes	—
97	#390	C₂³	1	96	yes	complemented
98	#384	C₂³	1	32	yes	complemented
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	complemented
100	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
101	#376	C₂³	1	8	yes	complemented
102	C₄³	C₂³	1	8	yes	complemented
103	C₂⁵	—	2	12	no	—
104	C₂⁵	—	4	8	no	—
105	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
106	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
107	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂×#41	—	2	48	no	—
109	C₂×#41	—	2	48	no	—
110	C₂×#41	—	2	48	no	—
111	C₂×#41	—	2	48	no	—
112	C₂×#41	—	2	48	no	—
113	C₂×#41	—	2	48	no	—
114	C₂×#41	—	4	192	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
118	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	24	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂⁴	1	48	yes	—
127	C₂²×D₄	C₂⁴	1	48	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
135	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	48	no	—
147	#127	—	2	48	no	—
148	#127	—	4	64	no	—
149	#124	—	2	96	no	—
150	#123	—	2	192	no	—
151	#123	—	2	192	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	192	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	192	no	—
154	#121	—	2	192	no	—
155	#121	—	2	192	no	—
156	#121	—	2	192	no	—
157	#120	—	2	192	no	—
158	#120	—	2	192	no	—
159	C₄×D₄	—	2	192	no	—
160	C₄×D₄	—	2	192	no	—
161	C₄×D₄	—	2	192	no	—
162	#117	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
163	#117	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	48	yes	complemented
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	48	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	48	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	48	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	48	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	48	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	96	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	48	yes	complemented
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	12	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	12	yes	—
180	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
181	C₂⁴	—	2	12	no	—
182	C₂⁴	—	2	24	no	—
183	C₂⁴	—	2	12	no	—
184	C₂⁴	—	2	24	no	—
185	C₂⁴	—	2	24	no	—
186	C₂⁴	—	4	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	12	no	—
188	C₂⁴	—	4	24	no	—
189	C₂⁴	—	4	96	no	—
190	C₂⁴	—	4	16	no	—
191	C₂⁴	C₂²×D₄	1	12	yes	—
192	C₂⁴	C₂⁵	1	12	yes	—
193	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
194	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
195	#41	—	4	192	no	—
196	#41	—	4	192	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
201	C₂×D₄	—	2	48	no	—
202	C₂×D₄	—	2	48	no	—
203	C₂×D₄	—	2	48	no	—
204	C₂×D₄	—	2	96	no	—
205	C₂×D₄	—	2	96	no	—
206	C₂×D₄	—	2	24	no	—
207	C₂×D₄	—	2	24	no	—
208	C₂×D₄	—	2	24	no	—
209	C₂×D₄	—	2	96	no	—
210	C₂×D₄	—	4	48	no	—
211	C₂×D₄	—	4	96	no	—
212	C₂×D₄	—	4	192	no	—
213	C₂×D₄	—	4	96	no	—
214	C₂×D₄	—	4	48	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
231	C₂²×C₄	#127	1	64	yes	complemented
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁵	1	12	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂⁵	1	24	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
244	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	96	yes	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
248	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	96	yes	—
249	C₄²	—	4	32	no	—
250	C₄²	C₂²×D₄	1	48	yes	—
251	C₄²	C₂²×D₄	1	48	yes	—
252	C₂³	—	2	12	no	—
253	C₂³	—	2	48	no	—
254	C₂³	—	2	12	no	—
255	C₂³	—	2	12	no	—
256	C₂³	—	2	12	no	—
257	C₂³	—	2	24	no	—
258	C₂³	—	2	48	no	—
259	C₂³	—	4	24	no	—
260	C₂³	—	4	96	no	—
261	C₂³	—	4	24	no	—
262	C₂³	—	4	48	no	—
263	C₂³	—	4	128	no	—
264	C₂³	—	4	24	no	—
265	C₂³	—	4	24	no	—
266	C₂³	—	8	48	no	—
267	C₂³	C₂×#127	1	16	yes	—
268	C₂³	C₂³×D₄	1	12	yes	—
269	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
270	C₂³	#585	1	8	yes	—
271	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
272	Q₈	—	4	48	no	—
273	D₄	—	4	192	no	—
274	D₄	—	4	96	no	—
275	D₄	—	4	48	no	—
276	D₄	—	8	96	no	—
277	C₂×C₄	—	2	48	no	—
278	C₂×C₄	—	2	12	no	—
279	C₂×C₄	—	2	12	no	—
280	C₂×C₄	—	2	24	no	—
281	C₂×C₄	—	4	48	no	—
282	C₂×C₄	—	4	24	no	—
283	C₂×C₄	—	4	24	no	—
284	C₂×C₄	—	4	16	no	—
285	C₂×C₄	—	4	48	no	—
286	C₂×C₄	—	4	48	no	—
287	C₂×C₄	—	4	48	no	—
288	C₂×C₄	C₂×#127	1	48	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#127	1	48	yes	—
290	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	48	yes	—
291	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
292	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
293	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	12	yes	—
294	C₂²	—	2	12	no	—
295	C₂²	—	2	24	no	—
296	C₂²	—	2	24	no	—
297	C₂²	—	4	16	no	—
298	C₂²	—	4	96	no	—
299	C₂²	—	4	12	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	24	no	—
302	C₂²	—	4	48	no	—
303	C₂²	—	4	12	no	—
304	C₂²	—	8	48	no	—
305	C₂²	C₂²×#127	1	12	yes	—
306	C₂²	C₂⁴×D₄	1	3	yes	—
307	C₂²	C₂×#585	1	4	yes	—
308	C₄	—	2	48	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	—	4	12	no	—
311	C₄	C₂²×#127	1	4	yes	—
312	C₄	C₂²×#127	1	12	yes	—
313	C₂	—	2	12	no	—
314	C₂	—	4	8	no	—
315	C₂	—	8	12	no	—
316	C₂	C₂³×#127	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#62811	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁵
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3449	C₂	semidirect
2. C₂²×#525	C₂	semidirect
3. #35634	C₂	semidirect
4. #35565	C₂	semidirect
5. #35463	C₂	semidirect
6. #35390	C₂	semidirect
7. #34936	C₂	semidirect
8. #33996	C₂	semidirect
12. C₂×#537	C₂²	semidirect
13. C₂×#536	C₂²	semidirect
14. C₂×#535	C₂²	semidirect
16. C₂×#532	C₂²	semidirect
18. C₂×#525	C₂²	semidirect
19. C₂×#525	C₂²	semidirect
20. C₂×#525	C₂²	semidirect
22. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂²×#121	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₄×D₄	C₂²	semidirect
27. #2542	C₂²	semidirect
28. #2541	C₂²	semidirect
29. #2540	C₂²	semidirect
30. #2539	C₂²	semidirect
31. #2539	C₂²	semidirect
32. #2501	C₂²	semidirect
33. #2433	C₂²	semidirect
34. #2397	C₂²	semidirect
35. C₄×#127	C₂²	semidirect
36. #2274	C₂²	semidirect
38. C₄×#117	C₂²	semidirect
59. C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
61. C₂×#127	C₂³	semidirect
62. C₂×#124	C₂³	semidirect
71. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	semidirect
75. C₂×#121	C₂³	semidirect
82. C₂×C₄×D₄	C₂³	semidirect
83. C₂×#117	D₄	semidirect
93. #399	C₂³	semidirect
95. #392	C₂³	semidirect
97. #390	C₂³	semidirect
98. #384	C₂³	semidirect
99. C₄×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
101. #376	C₂³	semidirect
102. C₄³	C₂³	semidirect
162. #117	C₂×D₄	semidirect
163. #117	C₂×D₄	semidirect
165. C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
176. C₂×C₄²	C₂×D₄	semidirect
231. C₂²×C₄	#127	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3449	2
C₂²×#525	2
#35634	2
#35565	2
#35463	2
#35390	2
#34936	2
#33996	2