Subgroups — #7630606

Order 512.

23658 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 313 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#535	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#35676	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
4	#35527	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#35346	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#35250	C₂	1	24	yes	maximal, complemented
7	#34044	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×#585	—	2	48	no	—
9	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	6	yes	complemented
10	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	6	yes	complemented
12	C₂³×#41	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂³×#41	C₂²	1	12	yes	complemented
14	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#535	—	2	48	no	—
16	C₂×#535	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂×#535	C₂²	1	24	yes	complemented
18	C₂²×#127	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂²×#124	C₂²	1	6	yes	complemented
20	C₂²×#121	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂²×#120	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	complemented
23	#2847	C₂²	1	32	yes	complemented
24	#2615	C₂²	1	32	yes	complemented
25	#2436	C₂²	1	48	yes	complemented
26	#2433	C₂²	1	48	yes	complemented
27	#2431	C₂²	1	96	yes	complemented
28	#2404	C₂²	1	96	yes	complemented
29	#2403	C₂²	1	96	yes	complemented
30	#2311	C₂²	1	24	yes	complemented
31	#2310	C₂²	1	6	yes	complemented
32	#2309	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#2308	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#2297	C₂²	1	24	yes	complemented
35	#2280	C₂²	1	12	yes	complemented
36	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
37	#585	—	2	512	no	—
38	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	96	no	—
39	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
40	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	96	no	—
41	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	96	no	—
42	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
43	C₂²×#41	—	2	192	no	—
44	C₂²×#41	—	2	48	no	—
45	C₂²×#41	—	2	96	no	—
46	C₂²×#41	D₄	1	48	yes	complemented
47	C₂²×#41	C₂³	1	24	yes	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂²×#41	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂²×#41	C₂³	1	8	yes	complemented
51	C₂²×#41	C₂³	1	24	yes	complemented
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
53	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	complemented
54	C₂³×D₄	—	2	24	no	—
55	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂³×D₄	C₂³	1	24	yes	—
58	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂³×D₄	C₂³	1	24	yes	—
61	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	complemented
62	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
65	#535	—	2	192	no	—
66	#535	—	2	192	no	—
67	C₂×#127	—	2	48	no	—
68	C₂×#127	C₂³	1	48	yes	—
69	C₂×#124	—	2	48	no	—
70	C₂×#124	C₂³	1	48	yes	—
71	C₂×#121	—	2	96	no	—
72	C₂×#121	C₂³	1	48	yes	—
73	C₂×#121	C₂³	1	48	yes	—
74	C₂×#120	—	2	96	no	—
75	C₂×#120	C₂³	1	96	yes	—
76	C₂×#120	C₂³	1	64	yes	complemented
77	C₂×#117	—	2	24	no	—
78	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
84	#393	C₂³	1	64	yes	complemented
85	#392	C₂³	1	192	yes	complemented
86	#391	C₂³	1	48	yes	complemented
87	#390	C₂³	1	48	yes	complemented
88	#386	C₂³	1	96	yes	—
89	#386	C₂³	1	192	yes	complemented
90	#381	C₂³	1	24	yes	—
91	#380	C₂³	1	48	yes	complemented
92	#379	C₂³	1	24	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	48	yes	complemented
94	C₂⁵	—	2	24	no	—
95	C₂⁵	—	8	8	no	—
96	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
97	C₂⁵	C₂⁴	1	8	yes	—
98	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
99	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	2₋¹⁺⁴	—	2	768	no	—
101	H(5,𝔽₂)	—	2	768	no	—
102	H(5,𝔽₂)	—	2	512	no	—
103	C₂×#41	—	2	1536	no	—
104	C₂×#41	—	2	96	no	—
105	C₂×#41	—	2	192	no	—
106	C₂×#41	—	2	96	no	—
107	C₂×#41	—	2	384	no	—
108	C₂×#41	—	2	48	no	—
109	C₂×#41	—	2	48	no	—
110	C₂×#41	—	2	96	no	—
111	C₂×#41	—	2	96	no	—
112	C₂×#41	—	2	48	no	—
113	C₂×#41	—	2	48	no	—
114	C₂×#41	—	2	96	no	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
117	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
120	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
121	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	192	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
135	C₂²×D₄	—	8	48	no	—
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	48	yes	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
140	C₂²×D₄	C₂⁴	1	24	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂⁴	1	24	yes	—
142	C₂²×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
143	C₂²×D₄	C₂⁴	1	96	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	48	yes	complemented
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
155	#127	—	2	192	no	—
156	#124	—	2	192	no	—
157	#121	—	2	192	no	—
158	#121	—	2	192	no	—
159	#120	—	2	384	no	—
160	#120	—	8	64	no	—
161	#117	—	2	48	no	—
162	#117	—	2	48	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	96	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	96	yes	—
171	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	24	yes	—
173	#95	C₂⁴	1	96	yes	—
174	C₂⁴	—	2	48	no	—
175	C₂⁴	—	2	24	no	—
176	C₂⁴	—	2	24	no	—
177	C₂⁴	—	2	48	no	—
178	C₂⁴	—	4	4	no	—
179	C₂⁴	—	4	24	no	—
180	C₂⁴	—	4	48	no	—
181	C₂⁴	—	4	32	no	—
182	C₂⁴	—	4	32	no	—
183	C₂⁴	—	8	96	no	—
184	C₂⁴	C₂²×D₄	1	24	yes	—
185	C₂⁴	C₂²×D₄	1	12	yes	—
186	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
187	C₂⁴	C₂⁵	1	12	yes	—
188	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
189	#41	—	2	256	no	—
190	#41	—	2	768	no	—
191	#41	—	2	768	no	—
192	#41	—	2	384	no	—
193	#41	—	2	384	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	384	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
199	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	48	yes	—
200	C₂×D₄	—	2	768	no	—
201	C₂×D₄	—	2	384	no	—
202	C₂×D₄	—	2	192	no	—
203	C₂×D₄	—	2	96	no	—
204	C₂×D₄	—	2	48	no	—
205	C₂×D₄	—	2	48	no	—
206	C₂×D₄	—	2	192	no	—
207	C₂×D₄	—	2	96	no	—
208	C₂×D₄	—	2	48	no	—
209	C₂×D₄	—	2	24	no	—
210	C₂×D₄	—	2	24	no	—
211	C₂×D₄	—	2	24	no	—
212	C₂×D₄	—	2	24	no	—
213	C₂×D₄	—	2	48	no	—
214	C₂×D₄	—	4	192	no	—
215	C₂×D₄	—	4	96	no	—
216	C₂×D₄	—	4	96	no	—
217	C₂×D₄	—	8	192	no	—
218	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	96	yes	—
219	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
220	C₂²×C₄	—	2	256	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	192	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
229	C₂²×C₄	#120	1	64	yes	complemented
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁵	1	24	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁵	1	12	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
246	C₄²	—	2	48	no	—
247	C₂³	—	2	12	no	—
248	C₂³	—	2	64	no	—
249	C₂³	—	2	24	no	—
250	C₂³	—	2	48	no	—
251	C₂³	—	2	48	no	—
252	C₂³	—	2	24	no	—
253	C₂³	—	2	32	no	—
254	C₂³	—	4	24	no	—
255	C₂³	—	4	48	no	—
256	C₂³	—	4	96	no	—
257	C₂³	—	4	48	no	—
258	C₂³	—	8	48	no	—
259	C₂³	—	8	96	no	—
260	C₂³	—	8	96	no	—
261	C₂³	—	8	128	no	—
262	C₂³	C₂×#120	1	16	yes	—
263	C₂³	C₂³×D₄	1	24	yes	—
264	C₂³	C₂³×D₄	1	12	yes	—
265	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
266	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
267	Q₈	—	2	64	no	—
268	Q₈	—	2	96	no	—
269	D₄	—	2	192	no	—
270	D₄	—	2	192	no	—
271	D₄	—	2	96	no	—
272	D₄	—	4	16	no	—
273	D₄	—	4	48	no	—
274	D₄	—	8	192	no	—
275	C₂×C₄	—	2	192	no	—
276	C₂×C₄	—	2	24	no	—
277	C₂×C₄	—	2	48	no	—
278	C₂×C₄	—	2	96	no	—
279	C₂×C₄	—	2	96	no	—
280	C₂×C₄	—	2	24	no	—
281	C₂×C₄	—	2	48	no	—
282	C₂×C₄	—	4	48	no	—
283	C₂×C₄	C₂×#120	1	48	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#120	1	48	yes	—
285	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	24	yes	—
286	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	12	yes	—
287	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
288	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
289	C₂²	—	2	12	no	—
290	C₂²	—	2	24	no	—
291	C₂²	—	2	48	no	—
292	C₂²	—	2	24	no	—
293	C₂²	—	4	16	no	—
294	C₂²	—	4	48	no	—
295	C₂²	—	4	48	no	—
296	C₂²	—	4	8	no	—
297	C₂²	—	8	48	no	—
298	C₂²	—	8	96	no	—
299	C₂²	—	8	64	no	—
300	C₂²	C₂²×#120	1	12	yes	—
301	C₂²	C₂⁴×D₄	1	3	yes	—
302	C₂²	H(7,𝔽₂)	1	4	yes	—
303	C₄	—	2	24	no	—
304	C₄	—	4	24	no	—
305	C₄	C₂²×#120	1	4	yes	—
306	C₄	C₂²×#120	1	12	yes	—
307	C₂	—	2	12	no	—
308	C₂	—	4	24	no	—
309	C₂	—	8	8	no	—
310	C₂	C₂³×#120	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#62852	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#585	C₂	semidirect
2. C₂²×#535	C₂	semidirect
3. #35676	C₂	semidirect
4. #35527	C₂	semidirect
5. #35346	C₂	semidirect
6. #35250	C₂	semidirect
7. #34044	C₂	semidirect
9. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
11. C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
13. C₂³×#41	C₂²	semidirect
14. C₂⁴×D₄	C₂²	semidirect
16. C₂×#535	C₂²	semidirect
17. C₂×#535	C₂²	semidirect
18. C₂²×#127	C₂²	semidirect
19. C₂²×#124	C₂²	semidirect
20. C₂²×#121	C₂²	semidirect
21. C₂²×#120	C₂²	semidirect
22. C₂²×#117	C₂²	semidirect
23. #2847	C₂²	semidirect
24. #2615	C₂²	semidirect
25. #2436	C₂²	semidirect
26. #2433	C₂²	semidirect
27. #2431	C₂²	semidirect
28. #2404	C₂²	semidirect
29. #2403	C₂²	semidirect
30. #2311	C₂²	semidirect
31. #2310	C₂²	semidirect
32. #2309	C₂²	semidirect
33. #2308	C₂²	semidirect
34. #2297	C₂²	semidirect
35. #2280	C₂²	semidirect
46. C₂²×#41	D₄	semidirect
50. C₂²×#41	C₂³	semidirect
51. C₂²×#41	C₂³	semidirect
53. C₂³×Q₈	C₂³	semidirect
61. C₂³×D₄	C₂³	semidirect
64. C₂⁴×C₄	C₂³	semidirect
76. C₂×#120	C₂³	semidirect
84. #393	C₂³	semidirect
85. #392	C₂³	semidirect
86. #391	C₂³	semidirect
87. #390	C₂³	semidirect
89. #386	C₂³	semidirect
91. #380	C₂³	semidirect
93. C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
115. C₂×#41	C₂×D₄	semidirect
116. C₂×#41	C₂×D₄	semidirect
120. C₂²×Q₈	C₂×D₄	semidirect
137. C₂²×D₄	C₂×D₄	semidirect
147. C₂³×C₄	C₂×D₄	semidirect
229. C₂²×C₄	#120	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#585	2
C₂²×#535	2
#35676	2
#35527	2
#35346	2
#35250	2
#34044	2