Subgroups — #7630865

Order 512.

24026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 236 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3487	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#36091	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#36082	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#35222	C₂	1	18	yes	maximal, complemented
6	#34632	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#34174	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
9	C₂²×H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
10	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	16	yes	—
11	C₂³×#41	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂³×#41	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂⁴×D₄	C₂²	1	9	yes	—
14	#3487	—	2	48	no	—
15	C₂×#550	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂×#548	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂×#535	C₂²	1	18	yes	complemented
18	C₂×#525	C₂²	1	18	yes	complemented
19	C₂×#519	C₂²	1	3	yes	complemented
20	#2846	C₂²	1	24	yes	complemented
21	#2616	C₂²	1	24	yes	complemented
22	#2615	C₂²	1	24	yes	complemented
23	#2614	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#2613	C₂²	1	36	yes	complemented
25	#2435	C₂²	1	72	yes	complemented
26	#2433	C₂²	1	72	yes	complemented
27	#2408	C₂²	1	144	yes	complemented
28	#2388	C₂²	1	48	yes	complemented
29	#2341	C₂²	1	48	yes	complemented
30	#2309	C₂²	1	18	yes	complemented
31	#2280	C₂²	1	18	yes	complemented
32	C₂⁶	C₂³	1	6	yes	—
33	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
34	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	512	no	—
35	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	384	no	—
36	C₂²×#41	—	2	48	no	—
37	C₂²×#41	—	2	72	no	—
38	C₂²×#41	D₄	1	48	yes	complemented
39	C₂²×#41	C₂³	1	24	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
41	C₂²×#41	C₂³	1	24	yes	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	complemented
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
46	C₂³×D₄	—	2	144	no	—
47	C₂³×D₄	—	2	72	no	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	9	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	72	yes	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	9	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	9	yes	—
52	#550	—	2	192	no	—
53	#548	—	2	192	no	—
54	#535	—	2	144	no	—
55	C₂×#127	C₂³	1	36	yes	complemented
56	C₂×#124	C₂³	1	36	yes	complemented
57	#525	—	2	144	no	—
58	C₂×#123	C₂³	1	12	yes	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	36	yes	complemented
60	C₂×#121	C₂³	1	36	yes	complemented
61	C₂×#121	C₂³	1	72	yes	complemented
62	C₂×#120	C₂³	1	36	yes	—
63	C₂×#120	C₂³	1	96	yes	complemented
64	#519	—	2	24	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	24	yes	complemented
66	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	72	yes	complemented
67	C₂×#117	C₂³	1	18	yes	—
68	#395	C₂³	1	16	yes	complemented
69	#394	C₂³	1	144	yes	complemented
70	#393	C₂³	1	16	yes	complemented
71	#392	C₂³	1	144	yes	complemented
72	#390	C₂³	1	144	yes	complemented
73	#381	C₂³	1	12	yes	—
74	#380	C₂³	1	72	yes	complemented
75	#379	C₂³	1	36	yes	—
76	#379	C₂³	1	96	yes	complemented
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	72	yes	complemented
78	C₂⁵	—	2	72	no	—
79	C₂⁵	—	8	24	no	—
80	C₂⁵	C₂⁴	1	24	yes	—
81	C₂⁵	C₂⁴	1	9	yes	—
82	2₋¹⁺⁴	—	4	64	no	—
83	H(5,𝔽₂)	—	2	2048	no	—
84	C₂×#41	—	2	384	no	—
85	C₂×#41	—	2	384	no	—
86	C₂×#41	—	2	192	no	—
87	C₂×#41	—	2	48	no	—
88	C₂×#41	—	2	288	no	—
89	C₂×#41	—	2	72	no	—
90	C₂×#41	C₂×D₄	1	192	yes	—
91	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
97	C₂²×D₄	—	2	1152	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	72	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	576	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	36	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	72	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	288	no	—
103	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	72	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂⁴	1	36	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂⁴	1	36	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂⁴	1	72	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	72	no	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	72	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	36	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
115	#127	—	2	144	no	—
116	#124	—	2	144	no	—
117	#123	—	2	48	no	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	144	no	—
119	#121	—	2	288	no	—
120	#121	—	2	144	no	—
121	#120	—	2	144	no	—
122	#120	—	8	96	no	—
123	C₄×Q₈	—	2	96	no	—
124	C₄×D₄	—	2	288	no	—
125	#117	—	2	72	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	36	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	72	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	144	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂⁴	1	36	yes	—
133	#95	C₂⁴	1	48	yes	—
134	C₂⁴	—	2	192	no	—
135	C₂⁴	—	2	36	no	—
136	C₂⁴	—	2	144	no	—
137	C₂⁴	—	4	36	no	—
138	C₂⁴	—	4	96	no	—
139	C₂⁴	—	8	288	no	—
140	C₂⁴	C₂²×D₄	1	36	yes	—
141	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
142	C₂⁴	C₂⁵	1	18	yes	—
143	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
144	#41	—	2	768	no	—
145	#41	—	2	768	no	—
146	#41	—	4	64	no	—
147	#41	—	4	96	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	36	no	—
151	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
152	C₂×Q₈	#120	1	64	yes	complemented
153	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	48	yes	—
154	C₂×D₄	—	2	288	no	—
155	C₂×D₄	—	2	2304	no	—
156	C₂×D₄	—	2	144	no	—
157	C₂×D₄	—	2	24	no	—
158	C₂×D₄	—	2	144	no	—
159	C₂×D₄	—	2	288	no	—
160	C₂×D₄	—	2	72	no	—
161	C₂×D₄	—	2	144	no	—
162	C₂×D₄	—	2	36	no	—
163	C₂×D₄	—	4	144	no	—
164	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	144	yes	—
165	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	288	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	144	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	72	no	—
169	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	144	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	36	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁵	1	24	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁵	1	6	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁵	1	6	yes	—
176	C₄⋊C₄	—	2	72	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	144	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	4	144	no	—
182	C₄²	—	2	72	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	192	no	—
185	C₂³	—	2	36	no	—
186	C₂³	—	2	72	no	—
187	C₂³	—	2	72	no	—
188	C₂³	—	2	12	no	—
189	C₂³	—	2	16	no	—
190	C₂³	—	4	72	no	—
191	C₂³	—	4	144	no	—
192	C₂³	—	8	288	no	—
193	C₂³	—	8	384	no	—
194	C₂³	C₂³×D₄	1	36	yes	—
195	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
196	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
197	Q₈	—	2	32	no	—
198	Q₈	—	4	24	no	—
199	Q₈	C₂×#120	1	64	yes	—
200	D₄	—	2	288	no	—
201	D₄	—	2	288	no	—
202	D₄	—	4	16	no	—
203	D₄	—	4	24	no	—
204	D₄	—	8	144	no	—
205	C₂×C₄	—	2	12	no	—
206	C₂×C₄	—	2	24	no	—
207	C₂×C₄	—	2	288	no	—
208	C₂×C₄	—	2	24	no	—
209	C₂×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂×C₄	—	2	48	no	—
211	C₂×C₄	—	4	48	no	—
212	C₂×C₄	C₂×#120	1	48	yes	—
213	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	12	yes	—
214	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	36	yes	—
215	C₂²	—	2	12	no	—
216	C₂²	—	2	72	no	—
217	C₂²	—	2	36	no	—
218	C₂²	—	4	144	no	—
219	C₂²	—	4	72	no	—
220	C₂²	—	4	24	no	—
221	C₂²	—	4	4	no	—
222	C₂²	—	8	192	no	—
223	C₂²	C₂²×#120	1	4	yes	—
224	C₂²	C₂⁴×D₄	1	3	yes	—
225	C₂²	H(7,𝔽₂)	1	4	yes	—
226	C₄	—	2	12	no	—
227	C₄	—	4	24	no	—
228	C₄	—	4	4	no	—
229	C₄	C₂²×#120	1	24	yes	—
230	C₂	—	2	4	no	—
231	C₂	—	4	36	no	—
232	C₂	—	8	4	no	—
233	C₂	C₂³×#120	1	1	yes	characteristic
234	C₂	#62852	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×H(5,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. C₂×#3487	C₂	semidirect
3. #36091	C₂	semidirect
4. #36082	C₂	semidirect
5. #35222	C₂	semidirect
6. #34632	C₂	semidirect
7. #34174	C₂	semidirect
8. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
15. C₂×#550	C₂²	semidirect
16. C₂×#548	C₂²	semidirect
17. C₂×#535	C₂²	semidirect
18. C₂×#525	C₂²	semidirect
19. C₂×#519	C₂²	semidirect
20. #2846	C₂²	semidirect
21. #2616	C₂²	semidirect
22. #2615	C₂²	semidirect
23. #2614	C₂²	semidirect
24. #2613	C₂²	semidirect
25. #2435	C₂²	semidirect
26. #2433	C₂²	semidirect
27. #2408	C₂²	semidirect
28. #2388	C₂²	semidirect
29. #2341	C₂²	semidirect
30. #2309	C₂²	semidirect
31. #2280	C₂²	semidirect
38. C₂²×#41	D₄	semidirect
42. C₂²×#41	C₂³	semidirect
45. C₂³×Q₈	C₂³	semidirect
55. C₂×#127	C₂³	semidirect
56. C₂×#124	C₂³	semidirect
59. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	semidirect
60. C₂×#121	C₂³	semidirect
61. C₂×#121	C₂³	semidirect
63. C₂×#120	C₂³	semidirect
65. C₂×C₄×Q₈	C₂³	semidirect
66. C₂×C₄×D₄	C₂³	semidirect
68. #395	C₂³	semidirect
69. #394	C₂³	semidirect
70. #393	C₂³	semidirect
71. #392	C₂³	semidirect
72. #390	C₂³	semidirect
74. #380	C₂³	semidirect
76. #379	C₂³	semidirect
77. C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
152. C₂×Q₈	#120	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×H(5,𝔽₂)	2
C₂×#3487	2
#36091	2
#36082	2
#35222	2
#34632	2
#34174	2