Subgroups — #7631249

Order 512.

12870 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 187 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3499	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
2	#36644	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2868	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	Q₈×#127	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#36179	C₂	1	24	yes	maximal, complemented
6	#35317	C₂	1	18	yes	maximal, complemented
7	C₄²×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	4	yes	—
9	#3499	—	2	96	no	—
10	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	24	yes	—
11	C₂×#547	C₂²	1	72	yes	—
12	C₂×#536	C₂²	1	36	yes	—
13	C₂×#532	C₂²	1	18	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	18	yes	—
15	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
16	#2868	C₂²	1	3	yes	—
17	#2868	C₂²	1	24	yes	—
18	#2868	C₂²	1	18	yes	—
19	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2858	C₂²	1	18	yes	—
21	#2856	C₂²	1	24	yes	—
22	#2658	C₂²	1	24	yes	—
23	#2542	C₂²	1	144	yes	—
24	#2501	C₂²	1	144	yes	—
25	C₄×#127	C₂²	1	24	yes	—
26	C₂×#384	C₂²	1	24	yes	—
27	C₄²×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
28	C₄²×D₄	C₂²	1	12	yes	—
29	C₄×#117	C₂²	1	9	yes	—
30	C₂×C₄³	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	96	no	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	12	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	24	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
37	D₄×Q₈	—	2	192	no	—
38	#547	—	2	576	no	—
39	#536	—	2	288	no	—
40	#532	—	2	144	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	144	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	18	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	36	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	72	yes	—
45	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
47	C₂×#124	C₂³	1	36	yes	—
48	C₂×#123	C₂³	1	144	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	144	yes	—
50	C₂×#121	C₂³	1	72	yes	—
51	C₄×#41	D₄	1	48	yes	complemented
52	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	72	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	18	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	9	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	72	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	9	yes	—
59	#399	C₂³	1	192	yes	—
60	#390	C₂³	1	144	yes	—
61	#384	C₂³	1	24	yes	—
62	#384	C₂³	1	144	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	36	yes	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	36	yes	—
65	#376	C₂³	1	6	yes	—
66	C₄³	C₂³	1	12	yes	—
67	C₄³	C₂³	1	9	yes	—
68	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	2₋¹⁺⁴	—	4	256	no	—
70	C₂×#41	—	2	288	no	—
71	C₂×#41	—	2	144	no	—
72	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
73	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	144	no	—
75	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	24	yes	—
76	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	12	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₄	C₂⁴	1	24	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂⁴	1	24	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂⁴	1	18	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
86	C₄⋊Q₈	—	2	72	no	—
87	C₄⋊Q₈	—	2	144	no	—
88	C₄⋊Q₈	—	2	288	no	—
89	#127	—	2	24	no	—
90	#127	—	2	32	no	—
91	#124	—	2	144	no	—
92	#123	—	2	576	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	576	no	—
94	#121	—	2	288	no	—
95	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	48	yes	—
96	C₄×D₄	—	2	288	no	—
97	C₄×D₄	C₂×D₄	1	144	yes	—
98	#117	C₂×D₄	1	72	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	288	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	72	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	144	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	18	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	144	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	18	yes	—
105	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
106	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	72	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂⁴	1	36	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂⁴	1	9	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂⁴	1	18	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
112	#95	C₂⁴	1	24	yes	—
113	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
114	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
115	#41	—	4	384	no	—
116	#41	—	4	192	no	—
117	#41	#127	1	64	yes	complemented
118	C₂×Q₈	—	2	144	no	—
119	C₂×Q₈	—	2	72	no	—
120	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
121	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
122	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
123	C₂×D₄	—	2	144	no	—
124	C₂×D₄	—	2	48	no	—
125	C₂×D₄	—	2	24	no	—
126	C₂×D₄	—	2	96	no	—
127	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	36	yes	—
128	C₂²×C₄	—	2	72	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	144	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	144	no	—
131	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	72	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	36	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁵	1	24	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂⁵	1	18	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂⁵	1	3	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁵	1	6	yes	—
138	C₄⋊C₄	—	2	144	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	288	no	—
140	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	72	yes	—
141	C₂²⋊C₄	—	2	288	no	—
142	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	72	yes	—
143	C₄²	—	2	72	no	—
144	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
145	C₄²	C₂²×D₄	1	36	yes	—
146	C₄²	C₂²×D₄	1	72	yes	—
147	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	16	yes	complemented
148	C₂³	—	2	12	no	—
149	C₂³	—	2	24	no	—
150	C₂³	—	2	32	no	—
151	C₂³	C₂³×D₄	1	18	yes	—
152	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
153	Q₈	—	4	96	no	—
154	Q₈	—	4	48	no	—
155	Q₈	C₂×#127	1	16	yes	—
156	D₄	—	4	96	no	—
157	D₄	—	4	16	no	—
158	D₄	—	4	96	no	—
159	D₄	C₂×#127	1	48	yes	—
160	C₂×C₄	—	2	36	no	—
161	C₂×C₄	—	2	144	no	—
162	C₂×C₄	—	2	72	no	—
163	C₂×C₄	—	4	96	no	—
164	C₂×C₄	—	4	96	no	—
165	C₂×C₄	C₂×#127	1	48	yes	—
166	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	36	yes	—
167	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	6	yes	—
168	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	18	yes	—
169	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	12	yes	—
170	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	24	yes	—
171	C₂²	—	2	36	no	—
172	C₂²	—	4	48	no	—
173	C₂²	—	4	8	no	—
174	C₂²	C₂²×#127	1	12	yes	—
175	C₂²	C₂⁴×D₄	1	3	yes	—
176	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
177	C₄	—	2	36	no	—
178	C₄	—	4	24	no	—
179	C₄	C₂²×#127	1	12	yes	—
180	C₄	C₂²×#127	1	4	yes	—
181	C₄	#3499	1	24	yes	complemented
182	C₂	—	2	12	no	—
183	C₂	—	8	8	no	—
184	C₂	C₂³×#127	1	1	yes	characteristic
185	C₂	C₂×#3499	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3499	C₂	semidirect
2. #36644	C₂	semidirect
3. C₂×#2868	C₂	semidirect
4. Q₈×#127	C₂	semidirect
5. #36179	C₂	semidirect
6. #35317	C₂	semidirect
7. C₄²×#41	C₂	semidirect
51. C₄×#41	D₄	semidirect
117. #41	#127	semidirect
147. C₄²	2₋¹⁺⁴	semidirect
181. C₄	#3499	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3499	2
#36644	2
C₂×#2868	2
Q₈×#127	2
#36179	2
#35317	2
C₄²×#41	2