Subgroups — C₂²×#2727 #7633447

Order 512.

9530 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#126	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2727	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#399	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#396	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#394	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#389	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#389	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#126	—	2	32	no	—
13	C₂²×#126	C₂²	1	48	yes	complemented
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2727	C₂²	1	256	yes	direct product factor
32	C₂×#399	C₂²	1	48	yes	complemented
33	C₂×#396	C₂²	1	48	yes	complemented
34	C₂×#394	C₂²	1	48	yes	—
35	C₂×#390	C₂²	1	24	yes	—
36	C₂×#389	C₂²	1	24	yes	complemented
37	C₂×#389	C₂²	1	48	yes	complemented
38	C₂×#389	C₂²	1	24	yes	complemented
39	C₂×#388	C₂²	1	48	yes	complemented
40	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
46	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#126	—	2	384	no	—
57	C₂×#126	C₂³	1	128	yes	complemented
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	complemented
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
87	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
88	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
89	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
92	#399	C₂³	1	128	yes	complemented
93	#396	C₂³	1	128	yes	complemented
94	#394	C₂³	1	128	yes	—
95	#390	C₂³	1	64	yes	—
96	#389	C₂³	1	128	yes	complemented
97	#389	C₂³	1	64	yes	complemented
98	#389	C₂³	1	64	yes	complemented
99	#388	C₂³	1	128	yes	complemented
100	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
101	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
102	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
103	C₂⁵	—	2	8	no	—
104	C₂⁵	—	2	8	no	—
105	C₂⁵	—	2	8	no	—
106	C₂⁵	—	2	8	no	—
107	C₂⁵	—	2	8	no	—
108	C₂⁵	—	2	8	no	—
109	C₂⁵	—	2	8	no	—
110	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
111	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
116	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
139	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
149	#126	—	2	512	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
180	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
181	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
184	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
185	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
186	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
187	C₂⁴	—	2	24	no	—
188	C₂⁴	—	2	24	no	—
189	C₂⁴	—	2	24	no	—
190	C₂⁴	—	2	24	no	—
191	C₂⁴	—	2	24	no	—
192	C₂⁴	—	2	24	no	—
193	C₂⁴	—	2	24	no	—
194	C₂⁴	—	4	32	no	—
195	C₂⁴	—	4	32	no	—
196	C₂⁴	—	4	32	no	—
197	C₂⁴	—	4	32	no	—
198	C₂⁴	—	4	32	no	—
199	C₂⁴	—	4	32	no	—
200	C₂⁴	—	4	32	no	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
203	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
204	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
205	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
206	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
207	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
208	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
209	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	32	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	192	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
262	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	64	yes	complemented
263	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
269	C₄²	—	2	64	no	—
270	C₄²	—	4	16	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	8	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	4	48	no	—
279	C₂³	—	4	48	no	—
280	C₂³	—	4	48	no	—
281	C₂³	—	4	48	no	—
282	C₂³	—	4	48	no	—
283	C₂³	—	4	48	no	—
284	C₂³	—	4	48	no	—
285	C₂³	—	8	128	no	—
286	C₂³	#537	1	16	yes	—
287	C₂³	#538	1	16	yes	—
288	C₂³	#539	1	16	yes	—
289	C₂³	#547	1	16	yes	—
290	C₂³	#550	1	16	yes	—
291	C₂³	#556	1	16	yes	—
292	C₂³	#563	1	16	yes	—
293	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
294	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
295	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
296	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
297	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
298	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
299	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
300	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
301	D₄	—	4	64	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	48	no	—
311	C₂×C₄	—	2	48	no	—
312	C₂×C₄	—	2	48	no	—
313	C₂×C₄	—	2	96	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	48	no	—
327	C₂×C₄	—	4	48	no	—
328	C₂×C₄	—	4	48	no	—
329	C₂×C₄	—	4	48	no	—
330	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
331	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×#41	1	8	yes	—
334	C₂²	—	4	8	no	—
335	C₂²	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	8	96	no	—
342	C₂²	#2727	1	64	yes	direct product factor
343	C₂²	C₂×#537	1	12	yes	—
344	C₂²	C₂×#538	1	12	yes	—
345	C₂²	C₂×#539	1	12	yes	—
346	C₂²	C₂×#547	1	12	yes	—
347	C₂²	C₂×#550	1	12	yes	—
348	C₂²	C₂×#556	1	12	yes	—
349	C₂²	C₂×#563	1	12	yes	—
350	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
357	C₄	—	2	8	no	—
358	C₄	—	2	8	no	—
359	C₄	—	2	8	no	—
360	C₄	—	2	16	no	—
361	C₄	—	4	8	no	—
362	C₄	—	4	8	no	—
363	C₄	—	4	8	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₂	—	8	8	no	—
366	C₂	C₂×#2727	1	24	yes	direct product factor
367	C₂	C₂²×#538	1	1	yes	characteristic
368	C₂	C₂²×#539	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂²×#537	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂²×#563	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂²×#547	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂²×#550	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂²×#556	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#126	C₂	semidirect
2. C₂×#2727	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#399	C₂	semidirect
4. C₂²×#396	C₂	semidirect
7. C₂²×#389	C₂	semidirect
8. C₂²×#389	C₂	semidirect
9. C₂²×#389	C₂	semidirect
10. C₂²×#388	C₂	semidirect
13. C₂²×#126	C₂²	semidirect
31. #2727	C₂²	direct (N × H)
32. C₂×#399	C₂²	semidirect
33. C₂×#396	C₂²	semidirect
36. C₂×#389	C₂²	semidirect
37. C₂×#389	C₂²	semidirect
38. C₂×#389	C₂²	semidirect
39. C₂×#388	C₂²	semidirect
57. C₂×#126	C₂³	semidirect
66. C₂²×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
92. #399	C₂³	semidirect
93. #396	C₂³	semidirect
96. #389	C₂³	semidirect
97. #389	C₂³	semidirect
98. #389	C₂³	semidirect
99. #388	C₂³	semidirect
158. C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
262. C₄⋊C₄	C₂²×D₄	semidirect
342. C₂²	#2727	direct (N × H)
366. C₂	C₂×#2727	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#126	2
C₂×#2727	2
C₂²×#399	2
C₂²×#396	2
C₂²×#394	2
C₂²×#390	2
C₂²×#389	2
C₂²×#388	2

Subgroups — C22×#2727 #7633447

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2727 #7633447