Subgroups — C₂²×#2731 #7633479

Order 512.

10170 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2731	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#396	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#394	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²×#393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂²×#124	—	2	16	no	—
17	C₂²×#124	C₂²	1	24	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2731	C₂²	1	256	yes	direct product factor
32	C₂×#396	C₂²	1	48	yes	complemented
33	C₂×#394	C₂²	1	48	yes	—
34	C₂×#393	C₂²	1	48	yes	complemented
35	C₂×#391	C₂²	1	24	yes	complemented
36	C₂×#388	C₂²	1	48	yes	complemented
37	C₂×#388	C₂²	1	48	yes	complemented
38	C₂×#387	C₂²	1	48	yes	complemented
39	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
46	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
47	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
48	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
49	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
50	C₂³×Q₈	D₄	1	16	yes	—
51	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
55	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	192	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	64	yes	complemented
67	C₂×#124	—	2	192	no	—
68	C₂×#124	C₂³	1	64	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
87	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
88	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
89	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
92	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
93	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
95	#396	C₂³	1	128	yes	complemented
96	#394	C₂³	1	128	yes	—
97	#393	C₂³	1	128	yes	complemented
98	#391	C₂³	1	64	yes	complemented
99	#388	C₂³	1	128	yes	complemented
100	#388	C₂³	1	128	yes	complemented
101	#387	C₂³	1	128	yes	complemented
102	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
103	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
104	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
105	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
106	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
107	C₂⁵	—	2	8	no	—
108	C₂⁵	—	2	8	no	—
109	C₂⁵	—	2	8	no	—
110	C₂⁵	—	2	8	no	—
111	C₂⁵	—	2	8	no	—
112	C₂⁵	—	2	8	no	—
113	C₂⁵	—	2	8	no	—
114	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
115	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×Q₈	—	2	48	no	—
117	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
118	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
119	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	96	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
130	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
162	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	256	no	—
164	#124	—	2	256	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
185	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
191	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
192	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
193	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
194	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
195	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
196	C₂⁴	—	2	24	no	—
197	C₂⁴	—	2	24	no	—
198	C₂⁴	—	2	24	no	—
199	C₂⁴	—	2	24	no	—
200	C₂⁴	—	2	24	no	—
201	C₂⁴	—	2	24	no	—
202	C₂⁴	—	2	24	no	—
203	C₂⁴	—	4	32	no	—
204	C₂⁴	—	4	32	no	—
205	C₂⁴	—	4	32	no	—
206	C₂⁴	—	4	32	no	—
207	C₂⁴	—	4	32	no	—
208	C₂⁴	—	4	32	no	—
209	C₂⁴	—	4	32	no	—
210	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
211	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
212	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
213	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
214	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
215	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
216	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
217	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
224	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	64	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	32	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	4	16	no	—
228	C₂×D₄	—	4	192	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
269	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
279	C₄²	—	2	32	no	—
280	C₄²	—	2	32	no	—
281	C₄²	—	4	16	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	4	48	no	—
290	C₂³	—	4	48	no	—
291	C₂³	—	4	48	no	—
292	C₂³	—	4	48	no	—
293	C₂³	—	4	48	no	—
294	C₂³	—	4	48	no	—
295	C₂³	—	4	48	no	—
296	C₂³	—	8	128	no	—
297	C₂³	#534	1	16	yes	—
298	C₂³	#542	1	32	yes	—
299	C₂³	#548	1	32	yes	—
300	C₂³	#555	1	16	yes	—
301	C₂³	#563	1	16	yes	—
302	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
303	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
304	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
305	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
306	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	12	yes	—
307	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	4	64	no	—
309	Q₈	—	4	64	no	—
310	D₄	—	4	64	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	48	no	—
320	C₂×C₄	—	2	48	no	—
321	C₂×C₄	—	2	48	no	—
322	C₂×C₄	—	2	96	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	48	no	—
336	C₂×C₄	—	4	48	no	—
337	C₂×C₄	—	4	48	no	—
338	C₂×C₄	—	4	48	no	—
339	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
343	C₂²	—	4	8	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	4	8	no	—
346	C₂²	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	4	8	no	—
349	C₂²	—	4	8	no	—
350	C₂²	—	8	96	no	—
351	C₂²	#2731	1	64	yes	direct product factor
352	C₂²	C₂×#534	1	12	yes	—
353	C₂²	C₂×#542	1	24	yes	—
354	C₂²	C₂×#548	1	24	yes	—
355	C₂²	C₂×#555	1	12	yes	—
356	C₂²	C₂×#563	1	12	yes	—
357	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	8	no	—
363	C₄	—	2	8	no	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	2	16	no	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	4	8	no	—
368	C₄	—	4	8	no	—
369	C₄	—	4	8	no	—
370	C₂	—	8	8	no	—
371	C₂	C₂×#2731	1	24	yes	direct product factor
372	C₂	C₂²×#534	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂²×#542	1	2	yes	—
374	C₂	C₂²×#563	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂²×#548	1	2	yes	—
376	C₂	C₂²×#555	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. C₂×#2731	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#396	C₂	semidirect
6. C₂²×#393	C₂	semidirect
7. C₂²×#391	C₂	semidirect
8. C₂²×#388	C₂	semidirect
9. C₂²×#388	C₂	semidirect
10. C₂²×#387	C₂	semidirect
15. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. #2731	C₂²	direct (N × H)
32. C₂×#396	C₂²	semidirect
34. C₂×#393	C₂²	semidirect
35. C₂×#391	C₂²	semidirect
36. C₂×#388	C₂²	semidirect
37. C₂×#388	C₂²	semidirect
38. C₂×#387	C₂²	semidirect
66. C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
95. #396	C₂³	semidirect
97. #393	C₂³	semidirect
98. #391	C₂³	semidirect
99. #388	C₂³	semidirect
100. #388	C₂³	semidirect
101. #387	C₂³	semidirect
351. C₂²	#2731	direct (N × H)
371. C₂	C₂×#2731	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂³×#124	2
C₂×#2731	2
C₂²×#396	2
C₂²×#394	2
C₂²×#393	2
C₂²×#391	2
C₂²×#388	2
C₂²×#387	2

Subgroups — C22×#2731 #7633479

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2731 #7633479