Subgroups — C₂²×#2712 #7633485

Order 512.

12058 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2712	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#394	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#392	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#124	—	2	32	no	—
16	C₂²×#124	C₂²	1	48	yes	complemented
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
28	#2712	C₂²	1	256	yes	direct product factor
29	C₂×#397	C₂²	1	24	yes	complemented
30	C₂×#394	C₂²	1	48	yes	complemented
31	C₂×#393	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×#392	C₂²	1	24	yes	—
33	C₂×#391	C₂²	1	48	yes	complemented
34	C₂×#388	C₂²	1	48	yes	complemented
35	C₂×#386	C₂²	1	48	yes	complemented
36	C₂×#385	C₂²	1	24	yes	complemented
37	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
46	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
49	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
50	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
51	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
52	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
53	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
54	C₂³×D₄	C₂³	1	24	yes	—
55	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
57	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂⁴×C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂×#124	—	2	384	no	—
67	C₂×#124	C₂³	1	128	yes	complemented
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	complemented
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
87	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
88	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
90	#397	C₂³	1	64	yes	complemented
91	#394	C₂³	1	128	yes	complemented
92	#393	C₂³	1	128	yes	complemented
93	#392	C₂³	1	64	yes	—
94	#391	C₂³	1	128	yes	complemented
95	#388	C₂³	1	128	yes	complemented
96	#386	C₂³	1	128	yes	complemented
97	#385	C₂³	1	64	yes	complemented
98	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
99	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
100	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
101	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
102	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
103	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
104	C₂⁵	—	2	8	no	—
105	C₂⁵	—	2	4	no	—
106	C₂⁵	—	2	8	no	—
107	C₂⁵	—	2	4	no	—
108	C₂⁵	—	2	8	no	—
109	C₂⁵	—	2	8	no	—
110	C₂⁵	—	2	8	no	—
111	C₂⁵	—	2	8	no	—
112	C₂⁵	—	2	8	no	—
113	C₂⁵	—	2	8	no	—
114	C₂⁵	—	2	8	no	—
115	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
117	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
118	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	48	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
124	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
131	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
133	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂³×C₄	—	4	24	no	—
151	C₂³×C₄	—	4	48	no	—
152	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
154	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
162	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
163	#124	—	2	512	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	96	yes	complemented
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
184	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
186	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
187	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
188	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
189	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
190	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
191	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
192	C₂⁴	—	2	32	no	—
193	C₂⁴	—	2	64	no	—
194	C₂⁴	—	2	24	no	—
195	C₂⁴	—	2	12	no	—
196	C₂⁴	—	2	24	no	—
197	C₂⁴	—	2	12	no	—
198	C₂⁴	—	2	24	no	—
199	C₂⁴	—	2	24	no	—
200	C₂⁴	—	2	24	no	—
201	C₂⁴	—	2	24	no	—
202	C₂⁴	—	2	24	no	—
203	C₂⁴	—	2	24	no	—
204	C₂⁴	—	2	24	no	—
205	C₂⁴	—	4	32	no	—
206	C₂⁴	—	4	16	no	—
207	C₂⁴	—	4	16	no	—
208	C₂⁴	—	4	32	no	—
209	C₂⁴	—	4	32	no	—
210	C₂⁴	—	4	32	no	—
211	C₂⁴	—	4	32	no	—
212	C₂⁴	—	4	32	no	—
213	C₂⁴	—	4	32	no	—
214	C₂⁴	—	4	32	no	—
215	C₂⁴	C₂²×D₄	1	24	yes	—
216	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
217	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
218	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
219	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
220	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
221	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
222	C₂⁴	C₂⁵	1	4	yes	—
223	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
224	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	384	no	—
228	C₂×D₄	—	2	64	no	—
229	C₂×D₄	—	2	64	no	—
230	C₂×D₄	—	4	32	no	—
231	C₂×D₄	—	4	16	no	—
232	C₂×D₄	—	4	32	no	—
233	C₂×D₄	—	4	384	no	—
234	C₂×D₄	—	4	192	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	192	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
280	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	64	yes	complemented
281	C₄²	—	2	64	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	48	no	—
287	C₂³	—	2	96	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	—	4	48	no	—
296	C₂³	—	4	24	no	—
297	C₂³	—	4	128	no	—
298	C₂³	—	4	24	no	—
299	C₂³	—	4	48	no	—
300	C₂³	—	4	48	no	—
301	C₂³	—	4	48	no	—
302	C₂³	—	4	48	no	—
303	C₂³	—	4	48	no	—
304	C₂³	—	4	48	no	—
305	C₂³	—	4	48	no	—
306	C₂³	—	8	128	no	—
307	C₂³	#537	1	16	yes	—
308	C₂³	#542	1	32	yes	—
309	C₂³	#546	1	32	yes	—
310	C₂³	#559	1	16	yes	—
311	C₂³	H(3,𝔽₄)	1	16	yes	—
312	C₂³	C₂³×D₄	1	8	yes	—
313	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
314	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
315	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
316	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
317	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
318	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	4	128	no	—
320	D₄	—	4	128	no	—
321	D₄	—	4	64	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	96	no	—
327	C₂×C₄	—	2	96	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	64	no	—
342	C₂×C₄	—	4	48	no	—
343	C₂×C₄	—	4	48	no	—
344	C₂×C₄	—	4	24	no	—
345	C₂×C₄	—	4	48	no	—
346	C₂×C₄	—	4	24	no	—
347	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
348	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	2	16	no	—
351	C₂²	—	4	96	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	4	8	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	8	no	—
362	C₂²	—	8	96	no	—
363	C₂²	#2712	1	64	yes	direct product factor
364	C₂²	C₂×#537	1	12	yes	—
365	C₂²	C₂×#542	1	24	yes	—
366	C₂²	C₂×#546	1	24	yes	—
367	C₂²	C₂×#559	1	12	yes	—
368	C₂²	C₂×H(3,𝔽₄)	1	12	yes	—
369	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	16	no	—
375	C₄	—	2	16	no	—
376	C₄	—	4	8	no	—
377	C₄	—	4	8	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₂	—	4	8	no	—
382	C₂	—	8	8	no	—
383	C₂	C₂×#2712	1	24	yes	direct product factor
384	C₂	C₂²×#537	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂²×#542	1	2	yes	—
386	C₂	C₂²×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂²×#546	1	2	yes	—
388	C₂	C₂²×#559	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂²×#392	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#124	C₂	semidirect
2. C₂×#2712	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#397	C₂	semidirect
4. C₂²×#394	C₂	semidirect
5. C₂²×#393	C₂	semidirect
7. C₂²×#391	C₂	semidirect
8. C₂²×#388	C₂	semidirect
9. C₂²×#386	C₂	semidirect
10. C₂²×#385	C₂	semidirect
16. C₂²×#124	C₂²	semidirect
28. #2712	C₂²	direct (N × H)
29. C₂×#397	C₂²	semidirect
30. C₂×#394	C₂²	semidirect
31. C₂×#393	C₂²	semidirect
33. C₂×#391	C₂²	semidirect
34. C₂×#388	C₂²	semidirect
35. C₂×#386	C₂²	semidirect
36. C₂×#385	C₂²	semidirect
67. C₂×#124	C₂³	semidirect
79. C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
90. #397	C₂³	semidirect
91. #394	C₂³	semidirect
92. #393	C₂³	semidirect
94. #391	C₂³	semidirect
95. #388	C₂³	semidirect
96. #386	C₂³	semidirect
97. #385	C₂³	semidirect
175. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
280. C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	semidirect
363. C₂²	#2712	direct (N × H)
383. C₂	C₂×#2712	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#124	2
C₂×#2712	2
C₂²×#397	2
C₂²×#394	2
C₂²×#393	2
C₂²×#392	2
C₂²×#391	2
C₂²×#388	2
C₂²×#386	2
C₂²×#385	2

Subgroups — C22×#2712 #7633485

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2712 #7633485