Subgroups — C₂²×#2734 #7633488

Order 512.

9330 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2734	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#398	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#395	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂²×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×#389	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂²×#387	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	48	yes	—
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2734	C₂²	1	256	yes	direct product factor
21	C₂×#398	C₂²	1	48	yes	—
22	C₂×#395	C₂²	1	96	yes	—
23	C₂×#391	C₂²	1	24	yes	—
24	C₂×#389	C₂²	1	48	yes	—
25	C₂×#387	C₂²	1	96	yes	—
26	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
31	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
32	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
33	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
34	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
35	C₂³×Q₈	D₄	1	16	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	24	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	384	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	128	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	32	yes	complemented
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	48	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
58	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
59	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
62	#398	C₂³	1	128	yes	—
63	#395	C₂³	1	256	yes	—
64	#391	C₂³	1	64	yes	—
65	#389	C₂³	1	128	yes	—
66	#387	C₂³	1	256	yes	—
67	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
68	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
69	C₂×#95	C₂³	1	48	yes	—
70	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
71	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
74	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
76	C₂²×Q₈	—	4	48	no	—
77	C₂²×Q₈	—	4	48	no	—
78	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
79	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	96	yes	—
80	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	32	yes	—
81	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
82	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	32	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	24	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	512	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	192	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	192	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	192	yes	complemented
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
118	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
119	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
120	C₂×C₄²	C₂⁴	1	32	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
122	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
123	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
124	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
125	#95	C₂⁴	1	64	yes	—
126	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
127	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
128	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
129	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
130	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
131	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
132	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
135	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
136	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
137	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
138	C₂×Q₈	—	4	384	no	—
139	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	64	yes	—
140	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
159	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	48	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	96	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
169	C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
171	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
173	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
174	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	128	yes	complemented
175	C₄²	—	2	64	no	—
176	C₄²	—	4	16	no	—
177	C₂³	#534	1	16	yes	—
178	C₂³	#544	1	32	yes	—
179	C₂³	D₄×Q₈	1	32	yes	—
180	C₂³	Q₈²	1	16	yes	—
181	C₂³	#563	1	16	yes	—
182	C₂³	C₂³×D₄	1	6	yes	—
183	C₂³	C₂³×Q₈	1	12	yes	—
184	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
185	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
186	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	12	yes	—
187	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
188	Q₈	—	4	64	no	—
189	Q₈	—	4	128	no	—
190	C₂×C₄	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂×C₄	—	2	48	no	—
199	C₂×C₄	—	2	96	no	—
200	C₂×C₄	—	2	96	no	—
201	C₂×C₄	—	2	192	no	—
202	C₂×C₄	—	2	16	no	—
203	C₂×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	16	no	—
205	C₂×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂×C₄	—	2	16	no	—
207	C₂×C₄	—	4	96	no	—
208	C₂×C₄	—	4	48	no	—
209	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
210	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	8	yes	—
211	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	16	yes	—
212	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	32	yes	—
213	C₂²	#2734	1	64	yes	direct product factor
214	C₂²	C₂×#534	1	12	yes	—
215	C₂²	C₂×#544	1	24	yes	—
216	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	24	yes	—
217	C₂²	C₂×Q₈²	1	12	yes	—
218	C₂²	C₂×#563	1	12	yes	—
219	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	C₂⁴×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
223	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
224	C₄	—	2	8	no	—
225	C₄	—	2	16	no	—
226	C₄	—	2	16	no	—
227	C₄	—	2	32	no	—
228	C₄	—	4	16	no	—
229	C₄	—	4	8	no	—
230	C₂	C₂×#2734	1	24	yes	direct product factor
231	C₂	C₂²×#534	1	1	yes	characteristic
232	C₂	C₂²×#544	1	2	yes	—
233	C₂	C₂²×#563	1	1	yes	characteristic
234	C₂	C₂²×D₄×Q₈	1	2	yes	—
235	C₂	C₂²×Q₈²	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2734	C₂	direct (N × H)
20. #2734	C₂²	direct (N × H)
51. C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	semidirect
111. C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
174. C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	semidirect
213. C₂²	#2734	direct (N × H)
230. C₂	C₂×#2734	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#2734	2
C₂²×#398	2
C₂²×#395	2
C₂²×#391	2
C₂²×#389	2
C₂²×#387	2

Subgroups — C22×#2734 #7633488

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2734 #7633488