Subgroups — C₂²×#2784 #7633509

Order 512.

9442 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2784	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
2	C₂²×#400	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#396	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#386	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2784	C₂²	1	256	yes	direct product factor
26	C₂×#400	C₂²	1	24	yes	complemented
27	C₂×#396	C₂²	1	48	yes	complemented
28	C₂×#395	C₂²	1	24	yes	complemented
29	C₂×#393	C₂²	1	48	yes	complemented
30	C₂×#390	C₂²	1	24	yes	—
31	C₂×#387	C₂²	1	48	yes	complemented
32	C₂×#386	C₂²	1	48	yes	—
33	C₂×#385	C₂²	1	48	yes	complemented
34	C₂×#380	C₂²	1	48	yes	complemented
35	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
44	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
46	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
47	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
48	C₂³×D₄	Q₈	1	16	yes	complemented
49	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
51	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
52	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂⁴×C₄	C₂³	1	24	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
82	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
84	#400	C₂³	1	64	yes	complemented
85	#396	C₂³	1	128	yes	complemented
86	#395	C₂³	1	64	yes	complemented
87	#393	C₂³	1	128	yes	complemented
88	#390	C₂³	1	64	yes	—
89	#387	C₂³	1	128	yes	complemented
90	#386	C₂³	1	128	yes	—
91	#385	C₂³	1	128	yes	complemented
92	#380	C₂³	1	128	yes	complemented
93	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
98	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
99	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
100	C₂⁵	—	2	8	no	—
101	C₂⁵	—	2	8	no	—
102	C₂⁵	—	2	8	no	—
103	C₂⁵	—	2	8	no	—
104	C₂⁵	—	2	8	no	—
105	C₂⁵	—	2	8	no	—
106	C₂⁵	C₂×Q₈	1	16	yes	—
107	C₂⁵	C₂⁴	1	12	yes	—
108	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×Q₈	—	4	48	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	16	yes	—
113	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
116	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	96	yes	complemented
117	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	96	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	48	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	48	no	—
141	C₂³×C₄	—	4	128	no	—
142	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
173	C₂×C₄²	—	4	24	no	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	16	yes	—
175	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
176	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
177	#95	C₂⁴	1	16	yes	—
178	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
179	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
180	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
181	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
182	C₂⁴	—	2	64	no	—
183	C₂⁴	—	2	64	no	—
184	C₂⁴	—	2	64	no	—
185	C₂⁴	—	2	24	no	—
186	C₂⁴	—	2	24	no	—
187	C₂⁴	—	2	24	no	—
188	C₂⁴	—	2	24	no	—
189	C₂⁴	—	2	24	no	—
190	C₂⁴	—	2	24	no	—
191	C₂⁴	—	4	32	no	—
192	C₂⁴	—	4	32	no	—
193	C₂⁴	—	4	32	no	—
194	C₂⁴	—	4	32	no	—
195	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	48	yes	—
196	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
197	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
198	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
199	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
200	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂⁵	1	8	yes	—
202	C₂⁴	C₂⁵	1	3	yes	—
203	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
206	C₂×D₄	—	4	192	no	—
207	C₂×D₄	—	4	16	no	—
208	C₂×D₄	—	4	16	no	—
209	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	64	yes	complemented
210	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	384	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	24	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂⁵	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
262	C₄²	—	4	16	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	96	no	—
270	C₂³	—	2	96	no	—
271	C₂³	—	2	96	no	—
272	C₂³	—	4	48	no	—
273	C₂³	—	4	48	no	—
274	C₂³	—	4	48	no	—
275	C₂³	—	4	48	no	—
276	C₂³	—	4	256	no	—
277	C₂³	#538	1	32	yes	—
278	C₂³	#543	1	16	yes	—
279	C₂³	#554	1	32	yes	—
280	C₂³	#555	1	16	yes	—
281	C₂³	#560	1	16	yes	—
282	C₂³	C₂³×Q₈	1	16	yes	—
283	C₂³	C₂³×Q₈	1	6	yes	—
284	C₂³	C₂²×#41	1	12	yes	—
285	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
286	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
287	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
288	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	4	64	no	—
290	D₄	—	4	64	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	96	no	—
296	C₂×C₄	—	2	48	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	128	no	—
314	C₂×C₄	—	4	48	no	—
315	C₂×C₄	—	4	48	no	—
316	C₂×C₄	—	4	48	no	—
317	C₂×C₄	—	4	24	no	—
318	C₂×C₄	—	4	24	no	—
319	C₂×C₄	—	4	48	no	—
320	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×#41	1	16	yes	—
322	C₂²	—	2	16	no	—
323	C₂²	—	2	16	no	—
324	C₂²	—	2	16	no	—
325	C₂²	—	4	192	no	—
326	C₂²	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	#2784	1	64	yes	direct product factor
331	C₂²	C₂×#538	1	24	yes	—
332	C₂²	C₂×#543	1	12	yes	—
333	C₂²	C₂×#554	1	24	yes	—
334	C₂²	C₂×#555	1	12	yes	—
335	C₂²	C₂×#560	1	12	yes	—
336	C₂²	C₂⁴×Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂³×#41	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	8	no	—
342	C₄	—	2	16	no	—
343	C₄	—	4	8	no	—
344	C₄	—	4	8	no	—
345	C₄	—	4	4	no	—
346	C₄	—	4	8	no	—
347	C₄	—	4	4	no	—
348	C₄	—	4	8	no	—
349	C₂	—	4	16	no	—
350	C₂	C₂×#2784	1	24	yes	direct product factor
351	C₂	C₂²×#543	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂²×#538	1	2	yes	—
353	C₂	C₂²×#560	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂²×#554	1	2	yes	—
355	C₂	C₂²×#555	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁵	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2784	C₂	direct (N × H)
2. C₂²×#400	C₂	semidirect
3. C₂²×#396	C₂	semidirect
4. C₂²×#395	C₂	semidirect
5. C₂²×#393	C₂	semidirect
7. C₂²×#387	C₂	semidirect
9. C₂²×#385	C₂	semidirect
10. C₂²×#380	C₂	semidirect
25. #2784	C₂²	direct (N × H)
26. C₂×#400	C₂²	semidirect
27. C₂×#396	C₂²	semidirect
28. C₂×#395	C₂²	semidirect
29. C₂×#393	C₂²	semidirect
31. C₂×#387	C₂²	semidirect
33. C₂×#385	C₂²	semidirect
34. C₂×#380	C₂²	semidirect
48. C₂³×D₄	Q₈	semidirect
84. #400	C₂³	semidirect
85. #396	C₂³	semidirect
86. #395	C₂³	semidirect
87. #393	C₂³	semidirect
89. #387	C₂³	semidirect
91. #385	C₂³	semidirect
92. #380	C₂³	semidirect
116. C₂²×D₄	C₂×Q₈	semidirect
209. C₂×D₄	C₂²×Q₈	semidirect
330. C₂²	#2784	direct (N × H)
350. C₂	C₂×#2784	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2784	2
C₂²×#400	2
C₂²×#396	2
C₂²×#395	2
C₂²×#393	2
C₂²×#390	2
C₂²×#387	2
C₂²×#386	2
C₂²×#385	2
C₂²×#380	2

Subgroups — C22×#2784 #7633509

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#2784 #7633509