Subgroups — C₂×#37298 #7634672

Order 512.

9302 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2682	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2675	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#37298	C₂	1	32	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#2856	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2541	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#2566	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#2619	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#540	—	2	32	no	—
11	C₂×#540	C₂²	1	32	yes	complemented
12	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#123	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#121	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂²×#121	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂²×#121	C₂²	1	16	yes	—
21	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2856	C₂²	1	32	yes	complemented
26	#2682	C₂²	1	128	yes	complemented
27	#2675	C₂²	1	128	yes	complemented
28	#2619	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#2566	C₂²	1	64	yes	complemented
30	#2541	C₂²	1	64	yes	complemented
31	C₂×#396	C₂²	1	16	yes	—
32	C₂×#394	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂×#392	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂×#392	C₂²	1	16	yes	—
35	#2296	C₂²	1	16	yes	complemented
36	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	—
38	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#385	C₂²	1	16	yes	—
41	C₂×#385	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	8	yes	—
53	#540	—	2	256	no	—
54	C₂×#127	—	2	16	no	—
55	C₂×#127	—	4	8	no	—
56	C₂×#127	—	4	8	no	—
57	C₂×#127	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂×#127	C₂³	1	16	yes	—
59	C₂×#127	C₂³	1	16	yes	—
60	C₂×#125	—	2	16	no	—
61	C₂×#125	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂×#123	—	2	64	no	—
63	C₂×#123	C₂³	1	64	yes	—
64	C₂×#121	—	2	32	no	—
65	C₂×#121	—	2	64	no	—
66	C₂×#121	—	4	32	no	—
67	C₂×#121	—	4	64	no	—
68	C₂×#121	C₂³	1	32	yes	—
69	C₂×#121	C₂³	1	64	yes	—
70	C₂×#121	C₂³	1	64	yes	—
71	C₂×#121	C₂³	1	128	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
73	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	32	yes	—
74	C₂×#117	—	4	4	no	—
75	C₂×#117	D₄	1	16	yes	complemented
76	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
96	#396	C₂³	1	128	yes	—
97	#394	C₂³	1	64	yes	—
98	#392	C₂³	1	64	yes	—
99	#392	C₂³	1	128	yes	—
100	#390	C₂³	1	32	yes	—
101	#390	C₂³	1	32	yes	—
102	#390	C₂³	1	64	yes	—
103	#389	C₂³	1	32	yes	—
104	#385	C₂³	1	128	yes	—
105	#385	C₂³	1	32	yes	—
106	#384	C₂³	1	16	yes	—
107	#382	C₂³	1	16	yes	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
109	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂⁵	C₂⁴	1	8	yes	—
112	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
125	C₂²×D₄	C₂⁴	1	16	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
127	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂⁴	1	32	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	#127	—	2	64	no	—
147	#127	—	4	32	no	—
148	#127	—	4	32	no	—
149	#125	—	2	64	no	—
150	#123	—	2	256	no	—
151	#121	—	2	128	no	—
152	#121	—	2	256	no	—
153	#121	—	4	128	no	—
154	#121	—	4	256	no	—
155	C₄×D₄	—	2	128	no	—
156	#117	—	4	16	no	—
157	#117	C₂×D₄	1	64	yes	complemented
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	32	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	64	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	8	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	8	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	8	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	8	yes	—
191	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
192	#95	C₂⁴	1	32	yes	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂⁴	—	2	16	no	—
197	C₂⁴	—	2	32	no	—
198	C₂⁴	—	2	32	no	—
199	C₂⁴	—	2	16	no	—
200	C₂⁴	—	2	16	no	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂⁵	1	16	yes	—
203	C₂⁴	C₂⁵	1	2	yes	—
204	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
205	C₂×D₄	—	2	64	no	—
206	C₂×D₄	—	2	32	no	—
207	C₂×D₄	—	2	64	no	—
208	C₂×D₄	—	2	32	no	—
209	C₂×D₄	—	2	64	no	—
210	C₂×D₄	—	2	32	no	—
211	C₂×D₄	—	4	64	no	—
212	C₂×D₄	—	4	32	no	—
213	C₂×D₄	—	4	64	no	—
214	C₂×D₄	—	4	64	no	—
215	C₂×D₄	—	4	32	no	—
216	C₂×D₄	—	4	32	no	—
217	C₂×D₄	—	4	64	no	—
218	C₂×D₄	—	8	64	no	—
219	C₂×D₄	—	8	64	no	—
220	C₂×D₄	—	8	64	no	—
221	C₂×D₄	—	8	64	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	64	no	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	16	yes	—
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁵	1	16	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂⁵	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂⁵	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂⁵	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
264	C₂²⋊C₄	C₂²×D₄	1	32	yes	—
265	C₄²	—	2	16	no	—
266	C₄²	—	2	16	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₄²	C₂²×D₄	1	32	yes	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	16	no	—
274	C₂³	—	2	16	no	—
275	C₂³	—	2	32	no	—
276	C₂³	—	2	32	no	—
277	C₂³	—	2	16	no	—
278	C₂³	—	2	16	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	32	no	—
282	C₂³	—	4	32	no	—
283	C₂³	—	4	32	no	—
284	C₂³	—	4	64	no	—
285	C₂³	—	4	64	no	—
286	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
290	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
292	D₄	—	4	64	no	—
293	D₄	—	8	64	no	—
294	D₄	—	8	64	no	—
295	D₄	—	8	64	no	—
296	D₄	—	8	64	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	16	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	32	no	—
304	C₂×C₄	—	2	32	no	—
305	C₂×C₄	—	2	32	no	—
306	C₂×C₄	—	2	16	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	32	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	32	no	—
311	C₂×C₄	—	4	32	no	—
312	C₂×C₄	—	4	16	no	—
313	C₂×C₄	—	8	64	no	—
314	C₂×C₄	#537	1	16	yes	—
315	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	16	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	16	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
321	C₂²	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	16	no	—
326	C₂²	—	4	32	no	—
327	C₂²	—	4	32	no	—
328	C₂²	—	4	16	no	—
329	C₂²	—	4	16	no	—
330	C₂²	—	4	16	no	—
331	C₂²	—	8	64	no	—
332	C₂²	C₂×#537	1	4	yes	—
333	C₂²	#3498	1	8	yes	—
334	C₂²	#3537	1	8	yes	—
335	C₂²	#3548	1	8	yes	—
336	C₂²	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
339	C₂²	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	2	16	no	—
341	C₄	—	2	16	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	4	8	no	—
344	C₄	—	4	16	no	—
345	C₄	C₂×#537	1	8	yes	—
346	C₂	—	4	4	no	—
347	C₂	—	8	16	no	—
348	C₂	#37298	1	8	yes	direct product factor
349	C₂	C₂²×#537	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂×#3537	1	2	yes	—
351	C₂	C₂×#3548	1	2	yes	—
352	C₂	C₂×#3498	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁵
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁶
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#540	C₂	semidirect
2. C₂×#2682	C₂	semidirect
3. C₂×#2675	C₂	semidirect
4. #37298	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#2856	C₂	semidirect
6. C₂×#2541	C₂	semidirect
7. C₂×#2566	C₂	semidirect
8. C₂×#2619	C₂	semidirect
9. C₂×#2296	C₂	semidirect
11. C₂×#540	C₂²	semidirect
25. #2856	C₂²	semidirect
26. #2682	C₂²	semidirect
27. #2675	C₂²	semidirect
28. #2619	C₂²	semidirect
29. #2566	C₂²	semidirect
30. #2541	C₂²	semidirect
35. #2296	C₂²	semidirect
75. C₂×#117	D₄	semidirect
157. #117	C₂×D₄	semidirect
348. C₂	#37298	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#540	2
C₂×#2682	2
C₂×#2675	2
#37298	2
C₂×#2856	2
C₂×#2541	2
C₂×#2566	2
C₂×#2619	2
C₂×#2296	2

Subgroups — C2×#37298 #7634672

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#37298 #7634672