Subgroups — #768856

Order 512.

6106 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 433 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2405	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#392	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2315	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#15370	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#14734	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13965	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13902	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13775	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#123	C₂²	1	8	yes	complemented
12	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	#2405	—	2	32	no	—
16	C₂×#399	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂×#394	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#392	—	2	8	no	—
19	C₂×#392	C₂²	1	8	yes	—
20	#2315	—	2	8	no	—
21	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#386	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#385	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#385	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#379	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#379	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1444	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1439	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1439	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1438	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#1437	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	complemented
37	C₂²⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
45	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
46	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#123	—	2	32	no	—
54	C₂×#123	—	4	16	no	—
55	C₂×#123	—	4	16	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
74	#399	—	4	16	no	—
75	#394	—	2	64	no	—
76	#392	—	2	32	no	—
77	#390	—	4	16	no	—
78	#386	—	2	32	no	—
79	#385	—	2	32	no	—
80	#385	—	2	32	no	—
81	#380	—	2	8	no	—
82	#380	—	2	8	no	—
83	#379	—	2	32	no	—
84	#379	D₄	1	16	yes	complemented
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₂×#95	—	2	4	no	—
87	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂⁵	—	2	4	no	—
94	C₂⁵	—	2	4	no	—
95	C₂⁵	—	2	4	no	—
96	C₂⁵	—	2	8	no	—
97	C₂⁵	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	—	2	8	no	—
99	C₂⁵	—	2	8	no	—
100	C₂⁵	—	4	4	no	—
101	C₂⁵	—	4	4	no	—
102	C₂⁵	—	4	4	no	—
103	C₂⁵	—	4	4	no	—
104	C₂⁵	—	4	4	no	—
105	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
107	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
109	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
138	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
149	#123	—	4	128	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
182	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
184	#95	—	2	8	no	—
185	#95	—	2	8	no	—
186	#95	—	2	8	no	—
187	#95	—	2	32	no	—
188	#95	—	2	8	no	—
189	#95	—	4	8	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	2	8	no	—
198	C₂⁴	—	2	32	no	—
199	C₂⁴	—	2	16	no	—
200	C₂⁴	—	2	8	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	2	8	no	—
204	C₂⁴	—	2	8	no	—
205	C₂⁴	—	2	8	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	8	no	—
208	C₂⁴	—	4	8	no	—
209	C₂⁴	—	4	8	no	—
210	C₂⁴	—	4	32	no	—
211	C₂⁴	—	4	32	no	—
212	C₂⁴	—	4	32	no	—
213	C₂⁴	—	4	32	no	—
214	C₂⁴	—	4	8	no	—
215	C₂⁴	—	4	8	no	—
216	C₂⁴	—	4	8	no	—
217	C₂⁴	—	4	8	no	—
218	C₂⁴	—	4	8	no	—
219	C₂⁴	—	4	8	no	—
220	C₂⁴	—	4	32	no	—
221	C₂⁴	—	8	16	no	—
222	C₂⁴	—	8	8	no	—
223	C₂⁴	—	8	8	no	—
224	C₂⁴	—	8	16	no	—
225	C₂⁴	—	8	16	no	—
226	C₂⁴	—	8	16	no	—
227	C₂⁴	#127	1	16	yes	—
228	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
233	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
234	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
235	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	C₂×D₄	—	2	64	no	—
237	C₂×D₄	—	2	32	no	—
238	C₂×D₄	—	4	32	no	—
239	C₂×D₄	—	4	32	no	—
240	C₂×D₄	—	4	32	no	—
241	C₂×D₄	—	4	32	no	—
242	C₂×D₄	—	4	16	no	—
243	C₂×D₄	—	4	32	no	—
244	C₂×D₄	—	4	32	no	—
245	C₂×D₄	—	4	32	no	—
246	C₂×D₄	—	4	128	no	—
247	C₂×D₄	—	4	256	no	—
248	C₂×D₄	—	4	32	no	—
249	C₂×D₄	—	4	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
276	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	complemented
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
288	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
298	C₄²	—	8	8	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	2	16	no	—
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	2	8	no	—
304	C₂³	—	2	16	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	16	no	—
308	C₂³	—	2	16	no	—
309	C₂³	—	2	8	no	—
310	C₂³	—	2	16	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	2	32	no	—
313	C₂³	—	2	16	no	—
314	C₂³	—	2	8	no	—
315	C₂³	—	2	16	no	—
316	C₂³	—	2	16	no	—
317	C₂³	—	4	32	no	—
318	C₂³	—	4	32	no	—
319	C₂³	—	4	32	no	—
320	C₂³	—	4	32	no	—
321	C₂³	—	4	8	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	16	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	4	16	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	16	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	8	no	—
334	C₂³	—	4	16	no	—
335	C₂³	—	4	8	no	—
336	C₂³	—	4	16	no	—
337	C₂³	—	8	8	no	—
338	C₂³	—	8	64	no	—
339	C₂³	—	8	16	no	—
340	C₂³	—	8	8	no	—
341	C₂³	—	8	128	no	—
342	C₂³	—	8	16	no	—
343	C₂³	—	8	16	no	—
344	C₂³	—	8	16	no	—
345	C₂³	—	8	16	no	—
346	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
347	C₂³	C₂×#127	1	8	yes	—
348	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
349	C₂³	#536	1	4	yes	—
350	C₂³	#547	1	16	yes	—
351	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
353	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
354	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
355	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
356	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
357	D₄	—	4	64	no	—
358	D₄	—	4	128	no	—
359	C₂×C₄	—	2	8	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	16	no	—
364	C₂×C₄	—	2	32	no	—
365	C₂×C₄	—	2	8	no	—
366	C₂×C₄	—	2	8	no	—
367	C₂×C₄	—	2	16	no	—
368	C₂×C₄	—	4	16	no	—
369	C₂×C₄	—	4	32	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	16	no	—
377	C₂×C₄	—	4	8	no	—
378	C₂×C₄	—	4	16	no	—
379	C₂×C₄	—	4	16	no	—
380	C₂×C₄	—	4	8	no	—
381	C₂×C₄	—	4	8	no	—
382	C₂×C₄	—	8	8	no	—
383	C₂×C₄	—	8	32	no	—
384	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	2	8	no	—
387	C₂²	—	2	32	no	—
388	C₂²	—	2	8	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	16	no	—
391	C₂²	—	2	8	no	—
392	C₂²	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	4	32	no	—
394	C₂²	—	4	8	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	4	8	no	—
397	C₂²	—	4	8	no	—
398	C₂²	—	4	32	no	—
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	8	32	no	—
401	C₂²	—	8	64	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	—	8	16	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	#2501	1	8	yes	—
408	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	C₂×#547	1	4	yes	—
412	C₂²	#3484	1	2	yes	—
413	C₂²	#3484	1	8	yes	—
414	C₂²	#3484	1	2	yes	—
415	C₂²	#3490	1	4	yes	—
416	C₂²	#3508	1	4	yes	—
417	C₂²	#3536	1	8	yes	—
418	C₄	—	2	8	no	—
419	C₄	—	4	8	no	—
420	C₄	—	4	16	no	—
421	C₄	—	4	4	no	—
422	C₄	—	8	8	no	—
423	C₂	—	2	8	no	—
424	C₂	—	4	8	no	—
425	C₂	—	8	8	no	—
426	C₂	C₂×#2501	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#35350	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#35390	1	2	yes	—
429	C₂	#35554	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#36718	1	2	yes	—
431	C₂	#43079	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×#392	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2405	C₂	semidirect
3. C₂×#2315	C₂	semidirect
4. #15370	C₂	semidirect
5. #14734	C₂	semidirect
6. #13965	C₂	semidirect
7. #13902	C₂	semidirect
8. #13775	C₂	semidirect
11. C₂²×#123	C₂²	semidirect
16. C₂×#399	C₂²	semidirect
17. C₂×#394	C₂²	semidirect
21. C₂×#390	C₂²	semidirect
22. C₂×#386	C₂²	semidirect
24. C₂×#385	C₂²	semidirect
31. #1444	C₂²	semidirect
32. #1439	C₂²	semidirect
33. #1439	C₂²	semidirect
34. #1438	C₂²	semidirect
35. #1437	C₂²	semidirect
36. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
84. #379	D₄	semidirect
181. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
280. C₂²×C₄	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2405	2
C₂²×#392	2
C₂×#2315	2
#15370	2
#14734	2
#13965	2
#13902	2
#13775	2