Subgroups — #8043

Order 256.

395 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 186 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1296	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
6	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#431	—	2	2	no	—
11	#431	C₄	1	4	yes	complemented
12	#423	—	2	2	no	—
13	#423	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
19	#384	—	2	1	no	—
20	#384	—	2	1	no	—
21	#384	C₄	1	2	yes	—
22	#384	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
24	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
28	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
29	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
30	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
39	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
40	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
51	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
54	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
56	C₄×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
65	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
66	C₂²×C₄	C₄²	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄	D₈	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄	Q₁₆	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	M₁₆	—	4	8	no	—
83	C₂×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₈	—	4	2	no	—
86	C₂×C₈	—	4	2	no	—
87	C₂×C₈	—	4	2	no	—
88	C₂×C₈	—	4	2	no	—
89	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
90	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
91	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
92	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
93	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
94	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
95	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
96	C₄²	C₄²	1	2	yes	—
97	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
100	C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂³	—	2	1	no	—
107	C₂³	—	2	1	no	—
108	C₂³	—	2	1	no	—
109	C₂³	—	2	1	no	—
110	C₂³	#95	1	2	yes	—
111	C₂³	#102	1	2	yes	—
112	C₂³	#103	1	2	yes	—
113	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄	—	8	8	no	—
126	C₂×C₄	#95	1	2	yes	—
127	C₂×C₄	#95	1	2	yes	—
128	C₂×C₄	#95	1	2	yes	—
129	C₂×C₄	#100	1	2	yes	—
130	C₂×C₄	#101	1	2	yes	—
131	C₂×C₄	#102	1	2	yes	—
132	C₂×C₄	#102	1	4	yes	—
133	C₂×C₄	#103	1	2	yes	—
134	C₂×C₄	#103	1	4	yes	—
135	C₂×C₄	#106	1	4	yes	—
136	C₂×C₄	#107	1	4	yes	—
137	C₂×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
149	C₈	—	4	4	no	—
150	C₈	—	4	4	no	—
151	C₂²	—	2	2	no	—
152	C₂²	—	2	2	no	—
153	C₂²	—	2	2	no	—
154	C₂²	—	2	2	no	—
155	C₂²	—	2	2	no	—
156	C₂²	—	2	2	no	—
157	C₂²	#340	1	4	yes	—
158	C₂²	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
159	C₂²	C₂×#100	1	1	yes	characteristic
160	C₂²	C₂×#101	1	1	yes	characteristic
161	C₂²	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
162	C₂²	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
163	C₂²	#418	1	1	yes	characteristic
164	C₂²	#419	1	1	yes	characteristic
165	C₄	—	2	2	no	—
166	C₄	—	2	1	no	—
167	C₄	—	2	1	no	—
168	C₄	—	8	4	no	—
169	C₄	#340	1	4	yes	—
170	C₄	#343	1	4	yes	—
171	C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
172	C₄	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
173	C₄	#417	1	2	yes	—
174	C₄	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
175	C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
176	C₄	#428	1	2	yes	—
177	C₂	—	2	4	no	—
178	C₂	#1545	1	1	yes	characteristic
179	C₂	#1546	1	1	yes	characteristic
180	C₂	#1548	1	1	yes	characteristic
181	C₂	#1549	1	1	yes	characteristic
182	C₂	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
183	C₂	#1736	1	1	yes	characteristic
184	C₂	C₂×#343	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂³
prime radical	C₂⁴	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1296	C₂	semidirect
11. #431	C₄	semidirect
13. #423	C₄	semidirect
53. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
54. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#431	2
C₂×#423	2
C₂×#384	2
#1296	2