Group #8298 — subgroups

Subgroups — #8298

Order 256.

1287 conjugacy classes of subgroups; only the 131 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1287 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 131 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1779	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#323	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂⁶	C₄	1	1	yes	characteristic
5	C₂⁴×C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
8	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
9	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
12	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
13	#323	—	2	8	no	—
14	C₂⁵	—	2	4	no	—
15	C₂⁵	—	2	2	no	—
16	C₂⁵	—	2	4	no	—
17	C₂⁵	—	2	2	no	—
18	C₂⁵	—	4	4	no	—
19	C₂⁵	—	4	4	no	—
20	C₂⁵	C₈	1	4	yes	complemented
21	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂⁵	C₂×C₄	1	2	yes	—
23	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
24	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
25	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
26	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
27	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
28	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
33	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
34	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
35	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
40	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
41	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
42	C₂⁴	—	2	4	no	—
43	C₂⁴	—	2	4	no	—
44	C₂⁴	—	2	2	no	—
45	C₂⁴	—	2	2	no	—
46	C₂⁴	—	2	8	no	—
47	C₂⁴	—	2	8	no	—
48	C₂⁴	—	2	16	no	—
49	C₂⁴	—	2	8	no	—
50	C₂⁴	—	2	16	no	—
51	C₂⁴	—	2	2	no	—
52	C₂⁴	—	2	2	no	—
53	C₂⁴	—	2	2	no	—
54	C₂⁴	—	2	2	no	—
55	C₂⁴	—	4	16	no	—
56	C₂⁴	—	4	4	no	—
57	C₂⁴	—	4	4	no	—
58	C₂⁴	—	4	16	no	—
59	C₂⁴	—	4	16	no	—
60	C₂⁴	—	4	32	no	—
61	C₂⁴	—	4	16	no	—
62	C₂⁴	—	4	4	no	—
63	C₂⁴	—	4	4	no	—
64	C₂⁴	—	4	4	no	—
65	C₂⁴	—	4	4	no	—
66	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
67	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
68	C₂⁴	C₂×C₈	1	2	yes	—
69	C₂⁴	C₂×C₈	1	4	yes	—
70	C₂⁴	M₁₆	1	2	yes	—
71	C₂⁴	M₁₆	1	4	yes	—
72	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
81	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
82	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
83	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
84	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
86	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₈	—	4	8	no	—
92	C₂×C₈	—	4	4	no	—
93	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
94	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
95	C₂³	—	2	8	no	—
96	C₂³	—	2	8	no	—
97	C₂³	—	2	16	no	—
98	C₂³	—	2	8	no	—
99	C₂³	—	2	8	no	—
100	C₂³	—	2	2	no	—
101	C₂³	—	2	4	no	—
102	C₂³	—	2	2	no	—
103	C₂³	—	2	4	no	—
104	C₂³	—	2	2	no	—
105	C₂³	—	2	2	no	—
106	C₂³	—	2	2	no	—
107	C₂³	—	2	2	no	—
108	C₂³	—	2	32	no	—
109	C₂³	—	2	4	no	—
110	C₂³	—	2	4	no	—
111	C₂³	—	2	4	no	—
112	C₂³	—	2	4	no	—
113	C₂³	—	2	4	no	—
114	C₂³	—	2	4	no	—
115	C₂³	—	4	4	no	—
116	C₂³	—	4	4	no	—
117	C₂³	—	4	8	no	—
118	C₂³	—	4	8	no	—
119	C₂³	—	4	64	no	—
120	C₂³	—	4	64	no	—
121	C₂³	—	4	16	no	—
122	C₂³	—	4	8	no	—
123	C₂³	—	4	16	no	—
124	C₂³	—	4	16	no	—
125	C₂³	—	4	8	no	—
126	C₂³	—	4	16	no	—
127	C₂³	—	4	4	no	—
128	C₂³	—	4	16	no	—
129	C₂³	—	4	4	no	—
130	C₂³	—	4	16	no	—
131	C₂³	—	4	4	no	—
132	C₂³	—	4	4	no	—
133	C₂³	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
134	C₂³	C₂²⋊C₈	1	8	yes	complemented
135	C₂³	#99	1	4	yes	—
136	C₂³	#100	1	4	yes	—
137	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂³	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
141	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
142	C₂×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄	—	4	16	no	—
148	C₂×C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄	—	4	16	no	—
150	C₂×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
154	C₈	—	8	4	no	—
155	C₂²	—	2	16	no	—
156	C₂²	—	2	16	no	—
157	C₂²	—	2	4	no	—
158	C₂²	—	2	2	no	—
159	C₂²	—	2	2	no	—
160	C₂²	—	2	4	no	—
161	C₂²	—	2	4	no	—
162	C₂²	—	2	4	no	—
163	C₂²	—	2	4	no	—
164	C₂²	—	2	4	no	—
165	C₂²	—	2	2	no	—
166	C₂²	—	2	4	no	—
167	C₂²	—	2	2	no	—
168	C₂²	—	2	8	no	—
169	C₂²	—	4	8	no	—
170	C₂²	—	4	64	no	—
171	C₂²	—	4	8	no	—
172	C₂²	—	4	8	no	—
173	C₂²	—	4	8	no	—
174	C₂²	—	4	8	no	—
175	C₂²	—	4	8	no	—
176	C₂²	—	4	4	no	—
177	C₂²	—	4	4	no	—
178	C₂²	#323	1	8	yes	complemented
179	C₂²	#379	1	1	yes	characteristic
180	C₂²	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
181	C₂²	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂²	#407	1	2	yes	—
183	C₂²	#407	1	1	yes	characteristic
184	C₂²	C₂×#99	1	2	yes	—
185	C₂²	C₂×#100	1	2	yes	—
186	C₄	—	2	4	no	—
187	C₄	—	4	2	no	—
188	C₄	—	4	4	no	—
189	C₂	—	2	8	no	—
190	C₂	—	2	2	no	—
191	C₂	—	2	2	no	—
192	C₂	—	4	8	no	—
193	C₂	C₂×#323	1	2	yes	—
194	C₂	#1462	1	2	yes	—
195	C₂	#1779	1	1	yes	characteristic
196	C₂	#1781	1	1	yes	characteristic
197	C₂	#1783	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

C₂³×C₂²⋊C₄

C₂

yes

maximal, characteristic

#1779

C₂

yes

maximal, complemented

C₂×#323

C₂

yes

maximal, complemented

C₂⁶

C₄

yes

characteristic

C₂⁴×C₄

C₄

yes

characteristic

C₂⁴×C₄

C₂²

yes

characteristic

C₂²×C₂²⋊C₄

—

C₂²×C₂²⋊C₄

—

C₂²×C₂²⋊C₄

C₄

yes

—

C₂²×C₂²⋊C₄

C₂²

yes

—

C₂×C₂²⋊C₈

—

C₂×C₂²⋊C₈

C₂²

yes

complemented

#323

—

C₂⁵

—

C₂⁵

—

C₂⁵

—

C₂⁵

—

C₂⁵

—

C₂⁵

—

C₂⁵

C₈

yes

complemented

C₂⁵

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂⁵

C₂×C₄

yes

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂³×C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂³×C₄

D₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

characteristic

C₂²×C₈

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

—

C₂×C₂²⋊C₄

D₄

yes

—

C₂²⋊C₈

—

C₂²⋊C₈

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

—

C₂⁴

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂⁴

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂⁴

C₂×C₈

yes

—

C₂⁴

C₂×C₈

yes

—

C₂⁴

M₁₆

yes

—

C₂⁴

M₁₆

yes

—

C₂⁴

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂²⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

100

C₂³

—

101

C₂³

—

102

C₂³

—

103

C₂³

—

104

C₂³

—

105

C₂³

—

106

C₂³

—

107

C₂³

—

108

C₂³

—

109

C₂³

—

110

C₂³

—

111

C₂³

—

112

C₂³

—

113

C₂³

—

114

C₂³

—

115

C₂³

—

116

C₂³

—

117

C₂³

—

118

C₂³

—

119

C₂³

—

120

C₂³

—

121

C₂³

—

122

C₂³

—

123

C₂³

—

124

C₂³

—

125

C₂³

—

126

C₂³

—

127

C₂³

—

128

C₂³

—

129

C₂³

—

130

C₂³

—

131

C₂³

—

132

C₂³

—

133

C₂³

C₂²⋊C₈

yes

—

134

C₂³

C₂²⋊C₈

yes

complemented

135

C₂³

#99

yes

—

136

C₂³

#100

yes

—

137

C₂³

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

138

C₂³

C₂×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

139

C₂³

C₂²×C₈

yes

characteristic

140

C₂³

C₂×M₁₆

yes

characteristic

141

C₂³

C₂×M₁₆

yes

—

142

C₂×C₄

—

143

C₂×C₄

—

144

C₂×C₄

—

145

C₂×C₄

—

146

C₂×C₄

—

147

C₂×C₄

—

148

C₂×C₄

—

149

C₂×C₄

—

150

C₂×C₄

—

151

C₂×C₄

—

152

C₂×C₄

—

153

C₂×C₄

#120

yes

—

154

C₈

—

155

C₂²

—

156

C₂²

—

157

C₂²

—

158

C₂²

—

159

C₂²

—

160

C₂²

—

161

C₂²

—

162

C₂²

—

163

C₂²

—

164

C₂²

—

165

C₂²

—

166

C₂²

—

167

C₂²

—

168

C₂²

—

169

C₂²

—

170

C₂²

—

171

C₂²

—

172

C₂²

—

173

C₂²

—

174

C₂²

—

175

C₂²

—

176

C₂²

—

177

C₂²

—

178

C₂²

#323

yes

complemented

179

C₂²

#379

yes

characteristic

180

C₂²

C₂×C₂²⋊C₈

yes

—

181

C₂²

C₂×C₂²⋊C₈

yes

characteristic

182

C₂²

#407

yes

—

183

C₂²

#407

yes

characteristic

184

C₂²

C₂×#99

yes

—

185

C₂²

C₂×#100

yes

—

186

C₄

—

187

C₄

—

188

C₄

—

189

C₂

—

190

C₂

—

191

C₂

—

192

C₂

—

193

C₂

C₂×#323

yes

—

194

C₂

#1462

yes

—

195

C₂

#1779

yes

characteristic

196

C₂

#1781

yes

characteristic

197

C₂

#1783

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₈
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³
prime radical	C₂⁶	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂³

C₂×C₂²⋊C₄

commutator

C₂³

C₂²×C₈

Frattini, cosocle

C₂³×C₄

C₂³

prime radical

C₂⁶

C₄

LCS

G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁

UCS

C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G

LECS

G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #1779	C₂	semidirect
3. C₂×#323	C₂	semidirect
12. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
20. C₂⁵	C₈	semidirect
134. C₂³	C₂²⋊C₈	semidirect
178. C₂²	#323	semidirect

H ≅ G/N

type

2. #1779

C₂

semidirect

3. C₂×#323

C₂

semidirect

12. C₂×C₂²⋊C₈

C₂²

semidirect

20. C₂⁵

C₈

semidirect

134. C₂³

C₂²⋊C₈

semidirect

178. C₂²

#323

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊C₄	2
#1779	2
C₂×#323	2

subgroup

index

C₂³×C₂²⋊C₄

#1779

C₂×#323

Subgroups — #8298

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups