Group #8317 — subgroups

Subgroups — #8317

Order 256.

432 conjugacy classes of subgroups; only the 81 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 432 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 81 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1869	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#1459	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
5	#543	C₄	1	1	yes	characteristic
6	#539	—	2	3	no	—
7	#538	—	2	3	no	—
8	#534	C₄	1	3	yes	—
9	#529	—	2	3	no	—
10	#525	—	2	3	no	—
11	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
13	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
14	#336	—	2	3	no	—
15	#324	—	2	3	no	—
16	#323	—	2	3	no	—
17	C₂×#41	—	2	1	no	—
18	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
19	C₂³×C₄	D₄	1	3	yes	—
20	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
22	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
23	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
24	#126	—	2	6	no	—
25	#125	—	2	3	no	—
26	#124	—	2	3	no	—
27	#123	—	2	6	no	—
28	#123	—	2	6	no	—
29	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
30	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
31	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
32	#121	—	2	3	no	—
33	#121	—	2	3	no	—
34	#121	—	2	3	no	—
35	#120	—	2	6	no	—
36	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
37	C₄×D₄	—	2	3	no	—
38	C₄×D₄	—	2	6	no	—
39	C₄×D₄	—	2	6	no	—
40	#117	—	2	3	no	—
41	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
42	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
43	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
44	C₂×C₄²	D₄	1	3	yes	—
45	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
46	C₂²⋊C₈	—	4	6	no	—
47	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
48	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
49	#41	—	8	1	no	—
50	#41	—	8	1	no	—
51	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×D₄	—	2	6	no	—
54	C₂×D₄	—	2	3	no	—
55	C₂×D₄	—	2	3	no	—
56	C₂×D₄	—	2	6	no	—
57	C₂×D₄	—	2	3	no	—
58	C₂×D₄	—	2	3	no	—
59	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
60	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
61	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
62	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
63	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
64	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
65	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
66	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
67	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
68	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
69	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
70	C₂×C₈	—	2	6	no	—
71	C₂×C₈	—	4	3	no	—
72	C₂×C₈	—	4	1	no	—
73	C₂×C₈	—	4	3	no	—
74	C₂×C₈	—	4	3	no	—
75	C₂×C₈	—	4	3	no	—
76	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
77	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
78	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
79	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
80	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
81	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
82	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
83	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
84	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
85	C₄²	—	2	3	no	—
86	C₄²	—	2	3	no	—
87	C₂³	—	2	3	no	—
88	C₂³	—	2	3	no	—
89	C₂³	—	2	3	no	—
90	C₂³	—	4	1	no	—
91	C₂³	—	4	1	no	—
92	C₂³	—	4	3	no	—
93	C₂³	—	4	3	no	—
94	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
95	C₂³	#131	1	1	yes	characteristic
96	C₂³	#131	1	3	yes	—
97	Q₈	—	8	1	no	—
98	Q₈	—	8	1	no	—
99	D₄	—	4	6	no	—
100	D₄	—	4	6	no	—
101	D₄	—	8	3	no	—
102	D₄	—	8	3	no	—
103	C₂×C₄	—	2	3	no	—
104	C₂×C₄	—	2	3	no	—
105	C₂×C₄	—	2	3	no	—
106	C₂×C₄	—	2	3	no	—
107	C₂×C₄	—	2	3	no	—
108	C₂×C₄	—	2	3	no	—
109	C₂×C₄	—	2	3	no	—
110	C₂×C₄	—	4	3	no	—
111	C₂×C₄	—	4	3	no	—
112	C₂×C₄	—	4	3	no	—
113	C₂×C₄	—	4	3	no	—
114	C₂×C₄	—	4	3	no	—
115	C₂×C₄	—	8	3	no	—
116	C₂×C₄	#120	1	3	yes	—
117	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
118	C₈	—	4	2	no	—
119	C₈	—	8	3	no	—
120	C₂²	—	2	3	no	—
121	C₂²	—	2	3	no	—
122	C₂²	—	4	1	no	—
123	C₂²	—	4	3	no	—
124	C₂²	—	4	6	no	—
125	C₂²	—	4	3	no	—
126	C₂²	—	4	3	no	—
127	C₂²	—	4	3	no	—
128	C₂²	—	8	3	no	—
129	C₂²	#379	1	1	yes	characteristic
130	C₂²	#408	1	3	yes	—
131	C₂²	#408	1	3	yes	—
132	C₄	—	2	3	no	—
133	C₄	—	4	3	no	—
134	C₄	—	4	3	no	—
135	C₄	—	4	3	no	—
136	C₄	B(4,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
137	C₄	#458	1	1	yes	characteristic
138	C₂	—	2	3	no	—
139	C₂	—	2	3	no	—
140	C₂	—	8	3	no	—
141	C₂	#1780	1	1	yes	characteristic
142	C₂	#1790	1	1	yes	characteristic
143	C₂	#1791	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

#3459

C₂

yes

maximal, characteristic

#1869

C₂

yes

maximal, complemented

#1459

C₂

yes

maximal, complemented

C₂³×C₈

C₂²

yes

characteristic

#543

C₄

yes

—

—

C₄

yes

—

#529

—

#525

—

C₂×C₄×D₄

C₂²

yes

—

C₂×C₂²⋊C₈

—

C₂×C₂²⋊C₈

C₂²

yes

—

#336

—

#324

—

#323

—

C₂×#41

—

C₂²×D₄

C₂×C₄

yes

—

C₂³×C₄

D₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂³

yes

characteristic

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

—

C₂²×C₈

—

—

—

—

—

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

—

—

—

—

C₄×Q₈

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

#117

—

C₂×C₄⋊C₄

D₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

D₄

yes

—

C₂×C₄²

D₄

yes

—

C₂²⋊C₈

—

C₂²⋊C₈

—

C₂⁴

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂⁴

C₂²×C₄

yes

characteristic

#41

—

#41

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

C₂²×C₄

C₂×D₄

yes

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₂×C₈

—

C₄⋊C₄

—

C₄⋊C₄

—

C₄⋊C₄

—

C₄⋊C₄

—

C₄⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

C₂²⋊C₄

—

C₄²

—

C₄²

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

—

C₂³

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

C₂³

#131

yes

characteristic

C₂³

#131

yes

—

Q₈

—

Q₈

—

D₄

—

100

D₄

—

101

D₄

—

102

D₄

—

103

C₂×C₄

—

104

C₂×C₄

—

105

C₂×C₄

—

106

C₂×C₄

—

107

C₂×C₄

—

108

C₂×C₄

—

109

C₂×C₄

—

110

C₂×C₄

—

111

C₂×C₄

—

112

C₂×C₄

—

113

C₂×C₄

—

114

C₂×C₄

—

115

C₂×C₄

—

116

C₂×C₄

#120

yes

—

117

C₂×C₄

#120

yes

characteristic

118

C₈

—

119

C₈

—

120

C₂²

—

121

C₂²

—

122

C₂²

—

123

C₂²

—

124

C₂²

—

125

C₂²

—

126

C₂²

—

127

C₂²

—

128

C₂²

—

129

C₂²

#379

yes

characteristic

130

C₂²

#408

yes

—

131

C₂²

#408

yes

—

132

C₄

—

133

C₄

—

134

C₄

—

135

C₄

—

136

C₄

B(4,𝔽₂)

yes

characteristic

137

C₄

#458

yes

characteristic

138

C₂

—

139

C₂

—

140

C₂

—

141

C₂

#1780

yes

characteristic

142

C₂

#1790

yes

characteristic

143

C₂

#1791

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#120
commutator	C₂⁴	C₂²×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³
socle	C₂²	#379
prime radical	#3459	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

subgroup

G/H

center

C₂×C₄

#120

commutator

C₂⁴

C₂²×C₄

Frattini, cosocle

C₂³×C₄

C₂³

C₂²

C₂

G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G

LECS

G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #1869	C₂	semidirect
3. #1459	C₂	semidirect

H ≅ G/N

type

2. #1869

C₂

semidirect

3. #1459

C₂

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3459	2
#1869	2
#1459	2

subgroup

index

#3459

#1869

#1459

Subgroups — #8317

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups