Subgroups — #96764

Order 512.

606 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 329 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#7563	C₂	1	2	yes	maximal
5	#7026	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#131	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#405	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#1753	—	2	1	no	—
12	#1753	—	2	1	no	—
13	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
14	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
15	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#1729	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#322	—	2	1	no	—
20	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
21	#1273	—	2	1	no	—
22	#1273	—	2	1	no	—
23	#1272	C₄	1	4	yes	—
24	#1270	C₄	1	4	yes	—
25	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#131	—	2	2	no	—
27	C₂×#131	—	4	2	no	—
28	C₂×#131	—	4	2	no	—
29	C₂×#131	C₈	1	4	yes	complemented
30	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
31	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#408	—	2	2	no	—
39	#408	C₈	1	4	yes	complemented
40	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
44	#405	—	4	2	no	—
45	C₂×#97	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#386	—	2	2	no	—
57	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
59	#336	—	2	1	no	—
60	#336	—	2	1	no	—
61	#336	—	2	1	no	—
62	#336	—	2	1	no	—
63	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#322	—	4	2	no	—
66	C₈²	—	4	2	no	—
67	C₂×#41	—	2	1	no	—
68	C₂×#41	—	2	1	no	—
69	C₂×#41	—	4	1	no	—
70	C₂×#41	—	4	1	no	—
71	C₂×#41	—	4	1	no	—
72	C₂×#41	—	4	1	no	—
73	C₂×#41	C₂×C₈	1	2	yes	—
74	C₂×#41	C₂×C₈	1	2	yes	—
75	C₂²×Q₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
77	C₂²×D₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
79	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
81	#131	—	4	8	no	—
82	#131	—	4	8	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
87	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
88	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
89	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
90	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
91	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
92	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
93	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
105	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
113	#117	—	4	1	no	—
114	#117	—	4	1	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
121	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
129	#97	—	4	2	no	—
130	C₄×C₈	—	2	2	no	—
131	C₄×C₈	—	2	2	no	—
132	C₄×C₈	—	4	1	no	—
133	C₄×C₈	—	4	1	no	—
134	C₄×C₈	—	4	2	no	—
135	C₄×C₈	—	4	2	no	—
136	C₄×C₈	—	4	2	no	—
137	C₄×C₈	—	4	2	no	—
138	C₄×C₈	—	4	2	no	—
139	#95	—	2	2	no	—
140	#95	—	2	2	no	—
141	C₂⁴	—	2	1	no	—
142	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
143	#41	—	4	2	no	—
144	#41	—	4	2	no	—
145	#41	—	4	2	no	—
146	#41	—	4	2	no	—
147	#41	—	4	2	no	—
148	#41	—	4	2	no	—
149	#41	—	4	2	no	—
150	#41	—	4	2	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
153	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
154	C₂×Q₈	C₄×C₈	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×D₄	—	4	1	no	—
159	C₂×D₄	—	4	1	no	—
160	C₂×D₄	—	4	2	no	—
161	C₂×D₄	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	C₄×C₈	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
186	M₁₆	—	4	2	no	—
187	M₁₆	—	4	2	no	—
188	M₁₆	—	4	8	no	—
189	M₁₆	—	4	2	no	—
190	M₁₆	—	4	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	1	no	—
192	C₂×C₈	—	2	1	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	8	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	8	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	1	no	—
207	C₂×C₈	—	4	1	no	—
208	C₂×C₈	—	4	1	no	—
209	C₂×C₈	—	4	1	no	—
210	C₂×C₈	—	4	4	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	#99	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	#100	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄²	—	2	1	no	—
225	C₄²	—	2	1	no	—
226	C₄²	—	2	1	no	—
227	C₄²	—	2	1	no	—
228	C₄²	—	4	2	no	—
229	C₄²	—	4	1	no	—
230	C₄²	—	4	1	no	—
231	C₂³	—	2	1	no	—
232	C₂³	—	2	1	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	4	1	no	—
237	C₂³	—	4	1	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	#431	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	#431	1	1	yes	characteristic
243	Q₈	—	4	2	no	—
244	Q₈	—	4	2	no	—
245	D₄	—	4	2	no	—
246	D₄	—	4	2	no	—
247	D₄	—	4	4	no	—
248	D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×#99	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#410	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×#100	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#413	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
284	C₈	—	2	2	no	—
285	C₈	—	2	2	no	—
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	4	8	no	—
288	C₈	—	4	2	no	—
289	C₈	—	4	2	no	—
290	C₈	—	8	4	no	—
291	C₈	#323	1	4	yes	—
292	C₂²	—	2	1	no	—
293	C₂²	—	2	1	no	—
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	2	1	no	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	8	2	no	—
304	C₂²	—	8	2	no	—
305	C₂²	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₄×#99	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₄×#100	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#1764	1	2	yes	—
309	C₂²	#1765	1	2	yes	—
310	C₄	—	2	4	no	—
311	C₄	—	2	4	no	—
312	C₄	—	2	1	no	—
313	C₄	—	2	1	no	—
314	C₄	—	4	2	no	—
315	C₄	—	8	2	no	—
316	C₄	C₂×#323	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#1458	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#1459	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#1460	1	1	yes	characteristic
320	C₂	—	4	1	no	—
321	C₂	—	4	1	no	—
322	C₂	—	8	2	no	—
323	C₂	C₄×#323	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#8184	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#8185	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#8240	1	2	yes	—
327	C₂	#8245	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄²	C₂³
socle	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄² ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #8144	C₂	semidirect
3. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
5. #7026	C₂	semidirect
29. C₂×#131	C₈	semidirect
39. #408	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20383	2
#8144	2
C₈×C₂²⋊C₈	2
#7563	2
#7026	2