Subgroups — #10685183

Order 768.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#82062	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#4925	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#67612	C₂	1	4	yes	maximal
5	#8014	—	3	1	no	maximal, Sylow
6	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₃×C₄²	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#926	—	2	1	no	—
10	C₃×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
11	C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
12	C₂×C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
13	#5212	—	2	1	no	—
14	#5212	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#830	C₂²	1	2	yes	—
16	#4936	—	2	1	no	—
17	#4935	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₄×C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
19	C₄×C₄⋊Dic₃	C₄	1	2	yes	complemented
20	#4925	—	2	2	no	—
21	#4925	C₄	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
24	C₂×#431	—	3	1	no	—
25	#2285	—	3	1	no	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic
27	#1294	—	3	4	no	—
28	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
29	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
33	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
34	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
35	C₂×C₃×C₄²	—	4	2	no	—
36	C₂×C₃×C₄²	—	4	2	no	—
37	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₃×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
45	C₂×#217	—	2	2	no	—
46	#926	—	4	2	no	—
47	#926	—	4	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₃×#95	—	2	2	no	—
54	C₃×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₃⋊#95	—	2	2	no	—
56	C₃⋊#95	—	2	2	no	—
57	#830	—	2	2	no	—
58	#830	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
60	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×#117	—	6	1	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
65	#431	—	3	4	no	—
66	#431	—	6	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	6	1	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	6	1	no	—
70	#384	—	3	2	no	—
71	#382	—	6	1	no	—
72	#380	—	3	2	no	—
73	#380	—	6	1	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	Dic₃	1	4	yes	complemented
78	C₂×#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
79	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
86	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
87	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	D₈	1	2	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
97	C₂²×C₃×C₄	SD₁₆	1	2	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	Q₁₆	1	2	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
106	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
107	C₃×C₄²	—	4	8	no	—
108	C₃×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
109	C₃×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
110	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₃×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₃×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₃×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₃×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	#217	—	4	2	no	—
117	#217	—	4	2	no	—
118	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
119	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
120	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
121	C₄×Dic₃	—	4	4	no	—
122	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
123	C₂×C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	#67	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	#67	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	—	6	2	no	—
129	#117	—	12	2	no	—
130	#117	—	12	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	6	2	no	—
141	C₂×C₄²	Dic₆	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	D₁₂	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	D₁₂	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
149	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	3	4	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	6	2	no	—
152	C₄×C₈	—	6	4	no	—
153	#95	—	2	2	no	—
154	#95	—	6	2	no	—
155	#95	—	6	2	no	—
156	#95	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
157	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
158	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
159	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
163	C₂³×C₃	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
164	C₂³×C₃	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
165	C₂³×C₃	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	4	1	no	—
173	C₂×C₃×C₄	—	4	1	no	—
174	C₂×C₃×C₄	—	4	1	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	4	1	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₃×C₄	#95	1	2	yes	—
181	C₂×C₃×C₄	#95	1	2	yes	—
182	C₂×C₃×C₄	#95	1	2	yes	—
183	C₂×C₃×C₄	#95	1	2	yes	—
184	C₂×C₃×C₄	#102	1	2	yes	—
185	C₂×C₃×C₄	#102	1	2	yes	—
186	C₂×C₃×C₄	#102	1	4	yes	—
187	C₂×C₃×C₄	#103	1	2	yes	—
188	C₂×C₃×C₄	#103	1	2	yes	—
189	C₂×C₃×C₄	#103	1	4	yes	—
190	C₂×C₃×C₄	#104	1	4	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	#106	1	4	yes	—
192	C₂×C₃×C₄	#107	1	4	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
198	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
199	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
200	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
210	C₂²×C₄	Dic₃⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	Dic₃⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#213	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#214	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#215	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#216	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	—	6	4	no	—
229	C₂×C₈	—	12	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
236	C₄²	—	4	8	no	—
237	C₄²	—	12	4	no	—
238	C₄²	C₄×Dic₃	1	2	yes	—
239	C₄²	C₄×Dic₃	1	2	yes	—
240	C₄²	Dic₃⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₄²	Dic₃⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₄²	C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
243	C₄²	C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
244	C₄²	(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₄²	(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₃	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₃	#410	1	2	yes	—
256	C₂²×C₃	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₃	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₃	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	C₂×#103	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₃	C₂×#104	1	2	yes	—
261	C₂²×C₃	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₃	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
263	C₃×C₄	—	2	2	no	—
264	C₃×C₄	—	2	1	no	—
265	C₃×C₄	—	2	1	no	—
266	C₃×C₄	—	2	1	no	—
267	C₃×C₄	—	2	1	no	—
268	C₃×C₄	—	4	8	no	—
269	C₃×C₄	#339	1	4	yes	—
270	C₃×C₄	#340	1	4	yes	—
271	C₃×C₄	#340	1	4	yes	—
272	Dic₃	—	8	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	C₂×Dic₃⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂×#213	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×#214	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂×#215	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂×#216	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#217	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	12	4	no	—
297	C₂×C₄	—	12	4	no	—
298	C₂×C₄	—	12	4	no	—
299	C₂×C₄	#805	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#807	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#808	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#809	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#809	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#810	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#810	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₃⋊#95	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₃⋊#95	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₃⋊#95	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₃⋊#95	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#832	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#835	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₈	—	12	4	no	—
317	C₂×C₃	—	2	1	no	—
318	C₂×C₃	—	2	1	no	—
319	C₂×C₃	—	2	1	no	—
320	C₂×C₃	—	2	1	no	—
321	C₂×C₃	#1502	1	2	yes	—
322	C₂×C₃	#1503	1	2	yes	—
323	C₂×C₃	C₂×#339	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₃	C₂×#340	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₃	#1740	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	C₂×#805	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#807	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#808	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#809	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#810	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#5006	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×C₃⋊#95	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#832	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#835	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	4	8	no	—
349	C₄	—	24	4	no	—
350	C₄	#4523	1	4	yes	—
351	C₄	#4529	1	4	yes	—
352	C₄	#4529	1	4	yes	—
353	C₃	#8014	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
354	C₂	—	2	1	no	—
355	C₂	—	2	1	no	—
356	C₂	—	2	1	no	—
357	C₂	—	2	1	no	—
358	C₂	#69469	1	2	yes	—
359	C₂	#69471	1	2	yes	—
360	C₂	C₂×#4523	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#4529	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#71593	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄²
Frattini	C₂³×C₄	C₂²×D₃
Fitting	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂
socle	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
cosocle	C₂³×C₃×C₄	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#8014
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
17. #4935	C₄	semidirect
19. C₄×C₄⋊Dic₃	C₄	semidirect
21. #4925	C₄	semidirect
77. C₄×C₄⋊C₄	Dic₃	semidirect
353. C₃	#8014	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	2
#82062	2
C₂×#4925	2
#67612	2
#8014	3