Subgroups — #10694038

Order 768.

554 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃×C₈²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#69788	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#69787	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#4456	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#4459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#4457	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9655	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂²×#204	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#821	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×(C₂×D₃)⋊C₈	—	2	2	no	—
17	C₂×#817	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#816	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#204	—	2	2	no	—
22	C₄×#204	—	2	2	no	—
23	C₃×C₈²	—	2	2	no	—
24	#4550	—	2	2	no	—
25	#4459	—	2	2	no	—
26	#4457	—	2	2	no	—
27	#4456	—	2	2	no	—
28	C₂×C₄×SD₁₆	—	3	1	no	—
29	#1984	—	3	1	no	—
30	#1954	—	3	1	no	—
31	C₂×#334	—	3	1	no	—
32	C₂×Q₈⋊C₈	—	3	1	no	—
33	C₂×D₄⋊C₈	—	3	1	no	—
34	C₂×C₈²	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂²×D₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄×D₃	—	2	1	no	—
37	C₂²×Dic₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₃×C₈	—	2	1	no	—
39	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×Dic₃	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
50	C₂×#204	—	2	2	no	—
51	C₂×#204	—	2	2	no	—
52	C₂×#204	C₈	1	4	yes	complemented
53	C₄×D₁₂	—	2	1	no	—
54	C₄×D₁₂	—	2	1	no	—
55	C₄×D₁₂	—	2	1	no	—
56	C₄×D₁₂	—	2	1	no	—
57	C₄×Dic₆	—	2	1	no	—
58	C₄×Dic₆	—	2	1	no	—
59	C₄×Dic₆	—	2	1	no	—
60	C₄×Dic₆	—	2	1	no	—
61	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
62	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
63	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
64	C₃×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
65	C₃×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
66	C₃×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
67	#821	—	2	2	no	—
68	(C₂×D₃)⋊C₈	—	4	4	no	—
69	#817	—	2	2	no	—
70	#816	—	2	2	no	—
71	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	1	no	—
72	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	1	no	—
73	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	1	no	—
74	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	1	no	—
75	C₂²×SD₁₆	—	3	1	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	3	1	no	—
77	C₂×C₄×D₄	—	3	1	no	—
78	C₄×SD₁₆	—	6	2	no	—
79	C₄×SD₁₆	—	6	2	no	—
80	C₂×#106	—	3	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	3	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	3	1	no	—
83	C₂×#103	—	3	1	no	—
84	C₂×#102	—	3	1	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	6	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
89	#336	—	6	2	no	—
90	#334	—	6	2	no	—
91	Q₈⋊C₈	—	6	2	no	—
92	D₄⋊C₈	—	6	2	no	—
93	C₈²	—	2	2	no	—
94	C₂³×D₃	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₃×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Dic₃	—	2	1	no	—
99	C₂²×Dic₃	—	2	1	no	—
100	C₂²×Dic₃	—	2	1	no	—
101	C₂×D₁₂	—	2	1	no	—
102	C₂×D₁₂	—	2	1	no	—
103	C₂×D₁₂	—	2	1	no	—
104	C₂×D₁₂	—	2	1	no	—
105	C₂×D₁₂	—	2	1	no	—
106	C₂×D₁₂	C₂×C₈	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×D₃	—	4	1	no	—
108	C₂×C₄×D₃	—	4	1	no	—
109	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
110	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
111	C₂×Dic₆	—	2	1	no	—
112	C₂×Dic₆	—	2	1	no	—
113	C₂×Dic₆	—	2	1	no	—
114	C₂×Dic₆	—	2	1	no	—
115	C₂×Dic₆	—	2	1	no	—
116	C₂×Dic₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
117	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂×C₃×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₃×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₃×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₃×C₈	M₁₆	1	2	yes	—
127	C₂×C₃×C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
128	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₃×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
132	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	1	no	—
133	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	1	no	—
134	C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
135	C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
136	C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
137	C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
138	Dic₃⋊C₄	—	4	1	no	—
139	Dic₃⋊C₄	—	4	1	no	—
140	C₄×Dic₃	—	4	1	no	—
141	C₄×Dic₃	—	4	1	no	—
142	C₂×C₃⋊C₈	—	4	1	no	—
143	C₂×C₃⋊C₈	—	4	1	no	—
144	C₂×C₃⋊C₈	—	4	2	no	—
145	C₂×C₃⋊C₈	—	4	2	no	—
146	#204	—	2	8	no	—
147	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
148	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
149	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	3	4	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	6	2	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	6	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	6	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	6	1	no	—
156	C₂²×C₈	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	D₁₂	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	—	6	1	no	—
160	C₄×Q₈	—	6	1	no	—
161	C₄×Q₈	—	6	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	6	1	no	—
163	C₄×D₄	—	6	1	no	—
164	C₄×D₄	—	6	1	no	—
165	C₄×D₄	—	6	1	no	—
166	C₄×D₄	—	6	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	6	1	no	—
172	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
173	#106	—	6	2	no	—
174	C₄⋊C₈	—	6	1	no	—
175	C₄⋊C₈	—	6	1	no	—
176	C₄⋊C₈	—	6	1	no	—
177	C₄⋊C₈	—	6	1	no	—
178	#103	—	6	2	no	—
179	#102	—	6	2	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	12	4	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	D₁₂	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	D₁₂	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	#67	1	2	yes	—
187	C₂³×C₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
189	C₂²×D₃	—	4	1	no	—
190	C₂²×D₃	—	4	1	no	—
191	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
192	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₃×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₃×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₃×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₃×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₃×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₃×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₃×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	#135	1	2	yes	—
206	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
207	C₂×Dic₃	—	4	1	no	—
208	C₂×Dic₃	—	4	1	no	—
209	C₂×Dic₃	—	4	1	no	—
210	C₂×Dic₃	—	4	1	no	—
211	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
212	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
213	D₁₂	—	2	2	no	—
214	D₁₂	—	2	2	no	—
215	D₁₂	—	4	1	no	—
216	D₁₂	—	4	1	no	—
217	C₄×D₃	—	8	2	no	—
218	C₄×D₃	—	8	1	no	—
219	C₄×D₃	—	8	1	no	—
220	Dic₆	—	2	2	no	—
221	Dic₆	—	2	2	no	—
222	Dic₆	—	4	1	no	—
223	Dic₆	—	4	1	no	—
224	C₃×C₈	—	2	4	no	—
225	C₃×C₈	—	2	2	no	—
226	C₃×C₈	—	2	4	no	—
227	C₃×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	complemented
228	C₃⋊C₈	—	8	1	no	—
229	C₃⋊C₈	—	8	1	no	—
230	C₂⁴	—	6	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	3	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	6	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	6	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	6	1	no	—
235	C₂×Q₈	—	6	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	6	1	no	—
237	C₂×D₄	—	3	2	no	—
238	C₂×D₄	—	6	1	no	—
239	C₂×D₄	—	6	1	no	—
240	C₂×D₄	—	6	1	no	—
241	C₂×D₄	—	6	1	no	—
242	C₂×D₄	—	6	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	12	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	12	1	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#235	1	1	yes	characteristic
253	SD₁₆	—	6	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	12	1	no	—
261	C₂×C₈	—	12	1	no	—
262	C₂×C₈	—	12	2	no	—
263	C₂×C₈	—	12	2	no	—
264	C₂×C₈	D₃×C₈	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	ΓL(1,𝔽₂₅)	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	#204	1	4	yes	complemented
267	C₂×C₈	(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	12	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	12	1	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	12	1	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	12	1	no	—
277	C₄²	—	12	1	no	—
278	C₄²	—	12	1	no	—
279	C₄²	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	#235	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₃	#390	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₃	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₃	#436	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₃	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
287	C₂²×C₃	#443	1	2	yes	—
288	C₂×D₃	—	4	4	no	—
289	C₂×D₃	—	4	2	no	—
290	C₂×D₃	—	8	2	no	—
291	C₂×D₃	—	8	1	no	—
292	C₂×D₃	—	8	1	no	—
293	C₃×C₄	—	2	1	no	—
294	C₃×C₄	—	2	1	no	—
295	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
296	C₃×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
297	C₃×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₃×C₄	#436	1	1	yes	characteristic
299	C₃×C₄	#465	1	2	yes	—
300	C₃×C₄	#492	1	1	yes	characteristic
301	C₃×C₄	#495	1	1	yes	characteristic
302	Dic₃	—	4	2	no	—
303	Dic₃	—	8	1	no	—
304	Dic₃	—	8	1	no	—
305	C₂³	—	6	2	no	—
306	C₂³	—	12	1	no	—
307	C₂³	—	12	1	no	—
308	C₂³	—	12	2	no	—
309	C₂³	—	12	2	no	—
310	C₂³	C₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	6	2	no	—
312	Q₈	—	6	2	no	—
313	Q₈	—	12	1	no	—
314	Q₈	—	12	1	no	—
315	D₄	—	6	2	no	—
316	D₄	—	6	2	no	—
317	D₄	—	12	1	no	—
318	D₄	—	12	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	6	2	no	—
321	C₂×C₄	—	12	1	no	—
322	C₂×C₄	—	12	1	no	—
323	C₂×C₄	—	12	1	no	—
324	C₂×C₄	—	12	1	no	—
325	C₂×C₄	—	12	2	no	—
326	C₂×C₄	—	12	2	no	—
327	C₂×C₄	—	24	1	no	—
328	C₂×C₄	—	24	1	no	—
329	C₂×C₄	—	24	2	no	—
330	C₂×C₄	C₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#874	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#875	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×ΓL(1,𝔽₂₅)	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#901	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#901	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#204	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#904	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#930	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#930	1	1	yes	characteristic
342	C₈	—	2	4	no	—
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	24	1	no	—
346	C₈	—	24	1	no	—
347	C₈	(C₂×D₃)⋊C₈	1	4	yes	complemented
348	C₂×C₃	C₈×SD₁₆	1	2	yes	—
349	C₂×C₃	#1590	1	2	yes	—
350	C₂×C₃	#1954	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₃	#1968	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₃	#1974	1	1	yes	characteristic
353	D₃	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	12	2	no	—
355	C₂²	—	12	4	no	—
356	C₂²	—	24	1	no	—
357	C₂²	—	24	1	no	—
358	C₂²	—	24	2	no	—
359	C₂²	C₈×D₁₂	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#4688	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₄×#204	1	2	yes	—
362	C₂²	#4700	1	2	yes	—
363	C₂²	#4939	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	1	no	—
366	C₄	—	12	2	no	—
367	C₄	—	24	1	no	—
368	C₄	—	24	1	no	—
369	C₄	C₈×D₁₂	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#4688	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#4693	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#4696	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₈	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#5110	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#5114	1	2	yes	—
376	C₃	#9655	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
377	C₂	—	24	2	no	—
378	C₂	C₈×#204	1	2	yes	—
379	C₂	#68055	1	2	yes	—
380	C₂	#69774	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#69787	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#69795	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₁₂
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₈
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₃
Fitting	C₂×C₃×C₈²	C₂
socle	C₂³×C₃	C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₁₂	C₂×C₄
cosocle	C₂×C₃×C₄²	C₂³
hypercenter	C₂×C₈²	D₃
hypocenter	C₃	#9655
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ C₂×C₈²

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₃×C₈²	C₂	semidirect
3. #69788	C₂	semidirect
5. C₂×#4456	C₂	semidirect
7. C₂×#4457	C₂	semidirect
34. C₂×C₈²	D₃	semidirect
52. C₂×#204	C₈	semidirect
127. C₂×C₃×C₈	SD₁₆	semidirect
227. C₃×C₈	C₂²⋊C₈	semidirect
266. C₂×C₈	#204	semidirect
347. C₈	(C₂×D₃)⋊C₈	semidirect
376. C₃	#9655	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#204	2
C₂×C₃×C₈²	2
#69788	2
#69787	2
C₂×#4456	2
C₂×#4459	2
C₂×#4457	2
#9655	3