Subgroups — #10694504

Order 768.

526 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#5088	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃×#332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#71778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#70466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#70457	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#4485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#4480	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9746	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#874	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₃×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₃×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#835	—	2	2	no	—
14	C₂×#821	—	2	2	no	—
15	C₂×#815	—	2	1	no	—
16	#5088	—	2	2	no	—
17	#5088	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₂×#809	—	2	1	no	—
19	C₂×#809	—	2	1	no	—
20	C₄×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₃×#332	—	2	2	no	—
24	#4550	—	2	1	no	—
25	#4485	—	2	2	no	—
26	#4480	—	2	2	no	—
27	C₂×#486	—	3	1	no	—
28	#1982	—	3	1	no	—
29	#1981	—	3	1	no	—
30	#1770	—	3	1	no	—
31	C₂×#334	—	3	1	no	—
32	C₂×#332	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#331	—	3	1	no	—
34	C₂²×C₃×Q₈	—	2	1	no	—
35	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
38	C₂²×C₃×C₈	—	2	1	no	—
39	C₂²×C₃×C₈	—	2	1	no	—
40	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
41	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₃×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
45	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
46	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄⋊Dic₃	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₃	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
52	#874	—	2	1	no	—
53	#874	—	2	1	no	—
54	#874	—	2	1	no	—
55	#874	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₃×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
57	C₃×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₃×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
59	C₃×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
60	#835	—	4	4	no	—
61	C₃⋊#95	—	2	1	no	—
62	#821	—	4	4	no	—
63	#815	—	4	2	no	—
64	#809	—	2	4	no	—
65	#809	—	2	4	no	—
66	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	1	no	—
67	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	1	no	—
68	C₄×C₃⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄×C₃⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#127	—	3	1	no	—
72	#486	—	3	4	no	—
73	#486	—	6	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	3	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#103	—	6	2	no	—
78	C₂×#102	—	6	1	no	—
79	C₂×#102	—	6	1	no	—
80	C₂×#102	—	6	2	no	—
81	C₂×#97	—	6	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	3	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
84	#336	—	6	1	no	—
85	#334	—	6	2	no	—
86	#332	—	2	2	no	—
87	#331	—	6	2	no	—
88	C₂³×D₃	—	4	1	no	—
89	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₃×Q₈	—	4	1	no	—
91	C₂×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
92	C₂×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	4	1	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₃×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
98	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
99	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
100	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
101	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
102	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
103	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
104	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
105	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
106	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
107	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
108	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
109	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
110	C₂×D₁₂	—	8	2	no	—
111	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂×C₃×C₈	—	4	1	no	—
113	C₂×C₃×C₈	—	4	1	no	—
114	C₂×C₃×C₈	—	4	1	no	—
115	C₂×C₃×C₈	—	4	2	no	—
116	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₃×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
119	C₃×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
120	C₃×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₃×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
126	C₄×Dic₃	—	4	1	no	—
127	C₄×Dic₃	—	4	1	no	—
128	C₂×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
132	C₂×C₃⋊C₈	—	4	1	no	—
133	C₂×C₃⋊C₈	—	4	2	no	—
134	C₂×C₃⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₃⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
138	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
139	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	6	1	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄⋊Q₈	C₄×D₃	1	2	yes	—
149	#127	—	3	2	no	—
150	#127	—	6	1	no	—
151	#127	—	6	1	no	—
152	#127	—	6	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	6	1	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
158	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
161	C₄⋊C₈	—	6	1	no	—
162	C₄⋊C₈	—	6	1	no	—
163	C₄⋊C₈	#67	1	2	yes	—
164	#103	—	12	4	no	—
165	#102	—	6	4	no	—
166	#102	—	6	4	no	—
167	#102	—	12	4	no	—
168	#97	—	12	2	no	—
169	C₄×C₈	—	3	2	no	—
170	C₄×C₈	—	3	2	no	—
171	#95	—	6	1	no	—
172	C₂³×C₃	#121	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
174	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
175	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
176	C₂²×D₃	—	8	2	no	—
177	C₂²×D₃	—	8	2	no	—
178	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₃×Q₈	—	8	1	no	—
180	C₃×Q₈	—	8	1	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	8	2	no	—
184	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₃×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₃×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₃×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₃×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₃×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₃×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₃×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
195	C₂×C₃×C₄	#137	1	1	yes	characteristic
196	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
197	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
198	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
199	D₁₂	—	4	2	no	—
200	D₁₂	—	4	2	no	—
201	D₁₂	—	4	4	no	—
202	D₁₂	—	8	2	no	—
203	D₁₂	—	8	2	no	—
204	D₁₂	—	8	1	no	—
205	D₁₂	—	8	1	no	—
206	D₁₂	—	8	1	no	—
207	D₁₂	—	8	1	no	—
208	C₃×C₈	—	4	2	no	—
209	C₃×C₈	—	8	1	no	—
210	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₃⋊C₈	—	8	1	no	—
213	C₂⁴	—	12	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	6	2	no	—
219	C₂×D₄	—	6	2	no	—
220	C₂×D₄	—	6	2	no	—
221	C₂×D₄	—	12	1	no	—
222	C₂×D₄	—	12	2	no	—
223	C₂×D₄	—	12	1	no	—
224	C₂×D₄	—	12	2	no	—
225	C₂×D₄	—	12	1	no	—
226	C₂×D₄	—	12	1	no	—
227	C₂×D₄	—	12	1	no	—
228	C₂×D₄	—	12	1	no	—
229	C₂×D₄	—	12	1	no	—
230	C₂×D₄	—	24	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
233	C₂²×C₄	#235	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	3	2	no	—
238	C₂×C₈	—	3	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	1	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	6	1	no	—
244	C₂×C₈	—	6	1	no	—
245	C₂×C₈	—	6	1	no	—
246	C₂×C₈	—	6	1	no	—
247	C₂×C₈	—	12	2	no	—
248	C₂×C₈	—	12	1	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
253	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
255	C₄²	—	12	1	no	—
256	C₄²	—	12	1	no	—
257	C₄²	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	#237	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₃	#390	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₃	#463	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₃	#464	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₃	#469	1	2	yes	—
265	C₂²×C₃	#471	1	2	yes	—
266	C₂×D₃	—	8	2	no	—
267	C₂×D₃	—	8	2	no	—
268	C₂×D₃	—	8	2	no	—
269	C₂×D₃	—	16	2	no	—
270	C₂×D₃	—	16	2	no	—
271	C₃×C₄	—	2	1	no	—
272	C₃×C₄	—	2	1	no	—
273	C₃×C₄	—	8	2	no	—
274	C₃×C₄	#416	1	1	yes	characteristic
275	C₃×C₄	#417	1	1	yes	characteristic
276	C₃×C₄	#442	1	2	yes	—
277	C₃×C₄	#463	1	1	yes	characteristic
278	C₃×C₄	#464	1	1	yes	characteristic
279	C₃×C₄	#496	1	1	yes	characteristic
280	C₃×C₄	#496	1	1	yes	characteristic
281	Dic₃	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	12	2	no	—
283	C₂³	—	24	2	no	—
284	C₂³	—	24	2	no	—
285	C₂³	—	24	1	no	—
286	C₂³	—	24	1	no	—
287	C₂³	#884	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	4	4	no	—
289	Q₈	—	8	1	no	—
290	Q₈	—	8	1	no	—
291	D₄	—	12	4	no	—
292	D₄	—	12	2	no	—
293	D₄	—	12	2	no	—
294	D₄	—	24	2	no	—
295	D₄	—	24	2	no	—
296	D₄	—	24	1	no	—
297	D₄	—	24	1	no	—
298	D₄	—	24	1	no	—
299	D₄	—	24	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	12	2	no	—
304	C₂×C₄	—	12	2	no	—
305	C₂×C₄	—	12	2	no	—
306	C₂×C₄	D₃×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#67⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#885	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#911	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#914	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#914	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#916	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#918	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#919	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₄×#67	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#939	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#940	1	1	yes	characteristic
318	C₈	—	4	2	no	—
319	C₈	—	6	2	no	—
320	C₈	—	6	2	no	—
321	C₈	—	8	1	no	—
322	C₈	—	24	1	no	—
323	C₂×C₃	#1701	1	2	yes	—
324	C₂×C₃	#1702	1	2	yes	—
325	C₂×C₃	#1972	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₃	#1977	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₃	#1983	1	1	yes	characteristic
328	D₃	—	16	2	no	—
329	C₂²	—	24	2	no	—
330	C₂²	—	24	2	no	—
331	C₂²	—	24	2	no	—
332	C₂²	—	48	2	no	—
333	C₂²	—	48	2	no	—
334	C₂²	#4754	1	2	yes	—
335	C₂²	#4782	1	2	yes	—
336	C₂²	#4798	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#4819	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#4957	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	2	1	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	—	24	2	no	—
343	C₄	#4785	1	2	yes	—
344	C₄	#4803	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#4804	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#5154	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#5165	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#5176	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#5185	1	1	yes	characteristic
350	C₃	#9746	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
351	C₂	—	48	2	no	—
352	C₂	#68454	1	2	yes	—
353	C₂	#68478	1	2	yes	—
354	C₂	#70107	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#70191	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#70230	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#884
commutator	C₃×C₄²	C₂²×C₄
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₃
Fitting	C₂×C₃×#332	C₂
socle	C₂³×C₃	#121
prime radical	C₂×#874	C₂²
cosocle	C₂×C₃×C₄²	C₂³
hypercenter	C₂×#332	D₃
hypocenter	C₃	#9746
LCS	G ▷ C₃×C₄² ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#332

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₃×#332	C₂	semidirect
3. #71778	C₂	semidirect
4. #70466	C₂	semidirect
7. C₂×#4480	C₂	semidirect
17. #5088	C₄	semidirect
32. C₂×#332	D₃	semidirect
350. C₃	#9746	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#5088	2
C₂×C₃×#332	2
#71778	2
#70466	2
#70457	2
C₂×#4485	2
C₂×#4480	2
#9746	3