Subgroups — #10694926

Order 768.

642 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#5085	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃×#1990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#71787	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#69772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₈×C₃⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#69580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#69576	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9820	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#215	—	2	2	no	—
11	C₂×#874	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#821	—	2	2	no	—
15	#5085	—	2	2	no	—
16	#5085	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₂×#809	—	2	2	no	—
18	C₂×#808	—	2	2	no	—
19	#4935	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₃×#340	—	2	2	no	—
23	#4529	—	2	2	no	—
24	C₈×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
25	C₂×#492	—	3	1	no	—
26	#1990	—	3	1	no	—
27	#1990	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#1957	—	3	1	no	—
29	#1957	—	3	1	no	—
30	#1844	—	3	1	no	—
31	C₂×C₈²	—	3	1	no	—
32	C₂²×C₃×Q₈	—	2	1	no	—
33	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
34	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
35	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
36	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	2	yes	—
37	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
38	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
39	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
40	C₃×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
42	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
43	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
44	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
45	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
46	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#215	—	2	8	no	—
48	C₂×#215	—	4	4	no	—
49	C₂×#215	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
55	#874	—	2	1	no	—
56	#874	—	2	1	no	—
57	#874	—	2	1	no	—
58	#874	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
60	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
61	#821	—	4	4	no	—
62	#809	—	4	4	no	—
63	#808	—	4	4	no	—
64	C₄×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₄×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₄×C₃⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₄×C₃⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×SD₁₆	—	6	2	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#127	—	3	1	no	—
71	#492	—	3	4	no	—
72	#492	—	6	2	no	—
73	C₂×#106	—	6	2	no	—
74	C₂×#102	—	6	2	no	—
75	C₂×#102	—	6	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	3	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	3	1	no	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
79	#384	—	3	1	no	—
80	#384	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
81	#340	—	2	2	no	—
82	#340	—	6	2	no	—
83	C₈²	—	6	2	no	—
84	C₂³×D₃	—	4	1	no	—
85	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₃×Q₈	—	4	1	no	—
87	C₂×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
88	C₂×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
89	C₂²×C₃×C₄	—	4	1	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	—	4	1	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Dic₃	—	4	1	no	—
95	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
98	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
99	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
100	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
101	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
102	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
103	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
104	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
105	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
106	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
107	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂×C₃×C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
110	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₃×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
113	C₃×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
114	C₃×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
115	C₃×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
116	C₃×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
117	C₃×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₃×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
120	C₃×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
121	#215	—	4	16	no	—
122	C₄⋊Dic₃	—	4	2	no	—
123	C₄⋊Dic₃	—	4	2	no	—
124	C₄⋊Dic₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
127	C₂×C₃⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₃⋊C₈	D₈	1	4	yes	—
129	C₂×C₃⋊C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
130	C₂×C₃⋊C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
131	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
133	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
134	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	6	8	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	12	4	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	12	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
140	C₂²×C₈	#67	1	2	yes	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
144	C₄⋊Q₈	C₄×D₃	1	2	yes	—
145	#127	—	3	2	no	—
146	#127	—	6	1	no	—
147	#127	—	6	1	no	—
148	#127	—	6	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
158	#106	—	12	4	no	—
159	#102	—	12	4	no	—
160	#102	—	12	4	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	3	2	no	—
164	C₄×C₈	—	3	2	no	—
165	C₄×C₈	—	6	1	no	—
166	C₄×C₈	—	6	1	no	—
167	C₂³×C₃	#127	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
169	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
170	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
171	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
172	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
173	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
174	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
175	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₃×Q₈	—	8	2	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₃×C₄	—	8	1	no	—
179	C₂×C₃×C₄	—	8	1	no	—
180	C₂×C₃×C₄	—	8	1	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	8	1	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	8	1	no	—
183	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₃×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₃×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₃×C₄	#124	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₃×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
190	C₂×C₃×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
192	C₂×C₃×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	#135	1	2	yes	—
194	C₂×C₃×C₄	#135	1	2	yes	—
195	C₂×Dic₃	—	8	1	no	—
196	C₂×Dic₃	—	8	1	no	—
197	C₂×Dic₃	—	8	1	no	—
198	D₁₂	—	4	4	no	—
199	D₁₂	—	4	4	no	—
200	D₁₂	—	4	4	no	—
201	D₁₂	—	8	2	no	—
202	D₁₂	—	8	2	no	—
203	D₁₂	—	8	2	no	—
204	C₃×C₈	—	2	4	no	—
205	C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₃⋊C₈	#102	1	8	yes	complemented
207	C₂⁴	—	12	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	6	2	no	—
213	C₂×D₄	—	6	2	no	—
214	C₂×D₄	—	6	2	no	—
215	C₂×D₄	—	12	1	no	—
216	C₂×D₄	—	12	1	no	—
217	C₂×D₄	—	12	2	no	—
218	C₂×D₄	—	12	2	no	—
219	C₂×D₄	—	12	2	no	—
220	C₂×D₄	—	12	2	no	—
221	C₂×D₄	—	12	1	no	—
222	C₂×D₄	—	12	2	no	—
223	C₂×D₄	—	12	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	12	1	no	—
227	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
230	SD₁₆	—	12	16	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	3	4	no	—
234	C₂×C₈	—	3	4	no	—
235	C₂×C₈	—	3	4	no	—
236	C₂×C₈	—	3	4	no	—
237	C₂×C₈	—	6	2	no	—
238	C₂×C₈	—	6	2	no	—
239	C₂×C₈	#215	1	4	yes	complemented
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
250	C₄²	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	#235	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	#237	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₃	#390	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₃	#492	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₃	#492	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₃	#492	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₃	#493	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	#495	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₃	#495	1	1	yes	characteristic
261	C₂×D₃	—	8	2	no	—
262	C₂×D₃	—	8	2	no	—
263	C₂×D₃	—	8	2	no	—
264	C₂×D₃	—	16	1	no	—
265	C₂×D₃	—	16	1	no	—
266	C₂×D₃	—	16	1	no	—
267	C₂×D₃	—	16	1	no	—
268	C₃×C₄	—	8	2	no	—
269	C₃×C₄	—	16	1	no	—
270	C₃×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
271	C₃×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
272	C₃×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
273	C₃×C₄	#465	1	2	yes	—
274	C₃×C₄	#465	1	2	yes	—
275	C₃×C₄	#486	1	2	yes	—
276	Dic₃	—	16	1	no	—
277	C₂³	—	12	2	no	—
278	C₂³	—	24	1	no	—
279	C₂³	—	24	1	no	—
280	C₂³	—	24	1	no	—
281	C₂³	—	24	1	no	—
282	C₂³	—	24	1	no	—
283	C₂³	—	24	1	no	—
284	C₂³	#940	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	4	4	no	—
286	Q₈	—	8	2	no	—
287	D₄	—	12	4	no	—
288	D₄	—	12	4	no	—
289	D₄	—	12	4	no	—
290	D₄	—	24	2	no	—
291	D₄	—	24	2	no	—
292	D₄	—	24	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	1	no	—
295	C₂×C₄	—	8	1	no	—
296	C₂×C₄	—	8	1	no	—
297	C₂×C₄	—	8	1	no	—
298	C₂×C₄	—	8	1	no	—
299	C₂×C₄	—	24	1	no	—
300	C₂×C₄	—	24	1	no	—
301	C₂×C₄	—	24	1	no	—
302	C₂×C₄	D₃×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#67⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#884	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#885	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	D₃×D₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	D₃×SD₁₆	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	D₃×SD₁₆	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#919	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₄×#67	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#939	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#215	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#950	1	2	yes	—
314	C₈	—	2	4	no	—
315	C₈	—	3	8	no	—
316	C₈	—	6	4	no	—
317	C₂×C₃	#1705	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₃	#1706	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₃	#1706	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₃	#1708	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₃	#1957	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₃	#1968	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₃	#1968	1	1	yes	characteristic
324	D₃	—	16	2	no	—
325	C₂²	—	24	2	no	—
326	C₂²	—	24	2	no	—
327	C₂²	—	24	2	no	—
328	C₂²	—	48	1	no	—
329	C₂²	—	48	1	no	—
330	C₂²	—	48	1	no	—
331	C₂²	—	48	1	no	—
332	C₂²	#4957	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#5059	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#5085	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#5151	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#5175	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#5175	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#5191	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	—	16	1	no	—
341	C₄	—	48	1	no	—
342	C₄	#4760	1	2	yes	—
343	C₄	D₃×#102	1	2	yes	—
344	C₄	#4788	1	2	yes	—
345	C₄	#4807	1	2	yes	—
346	C₄	C₄×#215	1	2	yes	—
347	C₄	#5048	1	2	yes	—
348	C₃	#9820	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
349	C₂	—	48	2	no	—
350	C₂	#69676	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#70157	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#70257	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#71180	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#71213	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#71332	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#71359	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#940
commutator	C₃×C₄²	C₂²×C₄
Frattini	C₂×C₄²	C₂²×D₃
Fitting	C₃×#1990	C₂
socle	C₂³×C₃	#127
prime radical	C₂×#874	C₂²
cosocle	C₂×C₃×C₄²	C₂³
hypercenter	#1990	D₃
hypocenter	C₃	#9820
LCS	G ▷ C₃×C₄² ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1990

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₃×#1990	C₂	semidirect
3. #71787	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×C₃⋊C₈	C₂	semidirect
7. #69576	C₂	semidirect
16. #5085	C₄	semidirect
27. #1990	D₃	semidirect
109. C₂×C₃×C₈	SD₁₆	semidirect
130. C₂×C₃⋊C₈	SD₁₆	semidirect
206. C₃⋊C₈	#102	semidirect
239. C₂×C₈	#215	semidirect
348. C₃	#9820	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#5085	2
C₃×#1990	2
#71787	2
#69772	2
C₂×C₈×C₃⋊C₈	2
#69580	2
#69576	2
#9820	3