Subgroups — #10713616

Order 768.

422 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#4517	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#4516	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#4506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#69904	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#69903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#13246	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂²×Dic₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×D₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₃×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₃×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#824	—	2	1	no	—
15	C₂×#823	—	2	1	no	—
16	C₂×#819	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#819	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#5004	—	2	1	no	—
19	#5001	—	2	1	no	—
20	C₂×#800	—	2	2	no	—
21	C₂×#800	—	2	1	no	—
22	C₂×#800	—	2	1	no	—
23	C₂×#800	C₄	1	4	yes	complemented
24	C₃×#346	—	2	1	no	—
25	C₃×C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
26	#4517	—	2	2	no	—
27	#4516	—	2	2	no	—
28	#4506	—	2	2	no	—
29	C₂²×SD₃₂	—	3	1	no	—
30	C₂×#368	—	3	1	no	—
31	C₂×#362	—	3	1	no	—
32	C₂×#361	—	3	1	no	—
33	#2108	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#1979	—	3	1	no	—
35	#1978	—	3	1	no	—
36	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
37	C₂²×Dic₆	—	2	1	no	—
38	C₂×C₃×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₃×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#208	—	2	1	no	—
42	C₂×#208	—	2	1	no	—
43	C₂×Dic₁₂	—	2	1	no	—
44	C₂×Dic₁₂	—	2	1	no	—
45	C₂×Dic₁₂	—	2	1	no	—
46	C₂×Dic₁₂	—	2	1	no	—
47	C₂×Dic₁₂	—	2	1	no	—
48	C₂×Dic₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×D₂₄	—	2	1	no	—
50	C₂×D₂₄	—	2	1	no	—
51	C₂×D₂₄	—	2	1	no	—
52	C₂×D₂₄	—	2	1	no	—
53	C₂×D₂₄	—	2	1	no	—
54	C₂×D₂₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₃×M₃₂	—	2	1	no	—
56	C₃×M₃₂	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₃×C₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂×C₃×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₃×C₁₆	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₃×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₃×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₃×#97	—	2	1	no	—
63	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
64	#824	—	4	2	no	—
65	#823	—	4	2	no	—
66	#819	—	2	1	no	—
67	#819	—	2	1	no	—
68	#819	—	2	1	no	—
69	#819	—	2	1	no	—
70	#810	—	4	2	no	—
71	#809	—	4	2	no	—
72	#800	—	2	4	no	—
73	#800	—	2	4	no	—
74	C₂²×Q₁₆	—	3	1	no	—
75	C₂²×D₈	—	3	1	no	—
76	C₂×SD₃₂	—	3	4	no	—
77	C₂×SD₃₂	—	6	2	no	—
78	C₂×SD₃₂	—	6	1	no	—
79	C₂×SD₃₂	—	6	1	no	—
80	C₂×M₃₂	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#108	—	3	1	no	—
83	C₂×#108	—	3	1	no	—
84	#419	—	6	1	no	—
85	#418	—	6	1	no	—
86	C₂×#101	—	6	1	no	—
87	C₂×#100	—	6	1	no	—
88	#405	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
89	#368	—	6	2	no	—
90	#362	—	6	2	no	—
91	#361	—	6	2	no	—
92	#346	—	2	1	no	—
93	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
94	C₂³×D₃	—	4	1	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×Dic₃	—	4	1	no	—
97	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
98	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
99	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
100	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
101	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
102	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
103	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
104	C₂×Dic₆	—	4	1	no	—
105	C₂×Dic₆	—	4	1	no	—
106	C₂×Dic₆	—	4	1	no	—
107	C₂×Dic₆	—	4	1	no	—
108	C₂×Dic₆	—	4	1	no	—
109	C₃×M₁₆	—	2	1	no	—
110	C₃×M₁₆	D₈	1	2	yes	—
111	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₃×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₃×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₃×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
119	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
120	C₃×C₄²	—	2	1	no	—
121	#208	—	4	1	no	—
122	#208	—	4	1	no	—
123	#208	—	4	1	no	—
124	#208	—	4	1	no	—
125	C₂×C₃⋊C₈	—	4	1	no	—
126	C₂×C₃⋊C₈	—	4	1	no	—
127	Dic₁₂	—	2	2	no	—
128	Dic₁₂	—	2	2	no	—
129	Dic₁₂	—	4	1	no	—
130	Dic₁₂	—	4	1	no	—
131	D₂₄	—	2	2	no	—
132	D₂₄	—	2	2	no	—
133	D₂₄	—	4	1	no	—
134	D₂₄	—	4	1	no	—
135	C₃×C₁₆	—	2	2	no	—
136	C₃×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₃×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×Q₈	—	6	1	no	—
139	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	3	2	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	6	1	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	6	1	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	6	1	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	6	1	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	6	1	no	—
146	C₂×D₈	—	3	2	no	—
147	C₂×D₈	—	6	1	no	—
148	C₂×D₈	—	6	1	no	—
149	C₂×D₈	—	6	1	no	—
150	C₂×D₈	—	6	1	no	—
151	C₂×D₈	—	6	1	no	—
152	C₂×M₁₆	—	6	1	no	—
153	C₂×M₁₆	—	6	1	no	—
154	C₂×M₁₆	D₁₂	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
156	#117	D₁₂	1	1	yes	characteristic
157	SD₃₂	—	6	4	no	—
158	SD₃₂	—	6	4	no	—
159	M₃₂	—	2	1	no	—
160	M₃₂	D₁₂	1	2	yes	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	C₄×D₃	1	2	yes	—
163	C₂×C₁₆	D₁₂	1	2	yes	—
164	C₂×C₁₆	#67	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₁₆	#67	1	1	yes	characteristic
166	#108	—	6	1	no	—
167	#108	—	6	1	no	—
168	#108	—	6	1	no	—
169	#108	—	6	1	no	—
170	#103	—	12	2	no	—
171	#102	—	12	2	no	—
172	#101	—	12	2	no	—
173	#100	—	12	2	no	—
174	#97	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂³×C₃	#135	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
178	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
179	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
180	C₂²×D₃	—	16	2	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₃×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₃×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₃×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₃×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₃×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
188	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
189	C₂×Dic₃	—	8	1	no	—
190	C₂×Dic₃	—	8	1	no	—
191	D₁₂	—	4	2	no	—
192	D₁₂	—	4	2	no	—
193	D₁₂	—	8	1	no	—
194	D₁₂	—	8	1	no	—
195	Dic₆	—	4	2	no	—
196	Dic₆	—	4	2	no	—
197	Dic₆	—	8	1	no	—
198	Dic₆	—	8	1	no	—
199	C₃×C₈	—	2	2	no	—
200	C₃×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₃×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₃×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
203	C₃×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
204	C₃⋊C₈	—	8	1	no	—
205	C₃⋊C₈	—	8	1	no	—
206	C₂⁴	—	12	1	no	—
207	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	12	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	12	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	12	1	no	—
211	C₂×Q₈	—	12	1	no	—
212	C₂×Q₈	—	12	1	no	—
213	C₂×D₄	—	6	2	no	—
214	C₂×D₄	—	12	1	no	—
215	C₂×D₄	—	12	1	no	—
216	C₂×D₄	—	12	1	no	—
217	C₂×D₄	—	12	1	no	—
218	C₂×D₄	—	12	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	12	1	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
221	Q₁₆	—	6	2	no	—
222	Q₁₆	—	6	2	no	—
223	Q₁₆	—	12	1	no	—
224	Q₁₆	—	12	1	no	—
225	D₈	—	6	2	no	—
226	D₈	—	6	2	no	—
227	D₈	—	12	1	no	—
228	D₈	—	12	1	no	—
229	M₁₆	—	2	1	no	—
230	M₁₆	—	12	1	no	—
231	M₁₆	—	12	1	no	—
232	M₁₆	—	12	1	no	—
233	M₁₆	—	12	1	no	—
234	M₁₆	D₂₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	12	1	no	—
237	C₂×C₈	—	12	1	no	—
238	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	#235	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	#235	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₄	D₂₄	1	2	yes	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₁₆	—	2	2	no	—
248	C₁₆	(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₁₆	(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₃	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₃	#466	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₃	#495	1	1	yes	characteristic
254	C₂×D₃	—	8	2	no	—
255	C₂×D₃	—	16	2	no	—
256	C₂×D₃	—	16	2	no	—
257	C₂×D₃	—	16	2	no	—
258	C₃×C₄	—	4	2	no	—
259	C₃×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
260	C₃×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
261	C₃×C₄	#466	1	1	yes	characteristic
262	C₃×C₄	#493	1	1	yes	characteristic
263	Dic₃	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	12	2	no	—
265	C₂³	—	24	1	no	—
266	C₂³	—	24	1	no	—
267	C₂³	—	48	2	no	—
268	C₂³	#904	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	12	2	no	—
270	Q₈	—	12	2	no	—
271	Q₈	—	24	1	no	—
272	Q₈	—	24	1	no	—
273	D₄	—	12	2	no	—
274	D₄	—	12	2	no	—
275	D₄	—	24	1	no	—
276	D₄	—	24	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	12	2	no	—
279	C₂×C₄	—	24	1	no	—
280	C₂×C₄	—	24	1	no	—
281	C₂×C₄	C₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#874	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×D₂₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×D₂₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#904	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#930	1	1	yes	characteristic
287	C₈	—	2	2	no	—
288	C₈	—	24	1	no	—
289	C₈	—	24	1	no	—
290	C₈	C₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
291	C₈	#875	1	1	yes	characteristic
292	C₈	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₈	#930	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₃	—	2	1	no	—
295	C₂×C₃	—	2	1	no	—
296	C₂×C₃	#1970	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₃	#2223	1	2	yes	—
298	D₃	—	16	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	24	2	no	—
301	C₂²	—	48	2	no	—
302	C₂²	—	48	2	no	—
303	C₂²	—	48	2	no	—
304	C₂²	C₄×D₂₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#4696	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#5115	1	1	yes	characteristic
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	24	2	no	—
309	C₄	C₄×D₂₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄	#4695	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#4939	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#5115	1	1	yes	characteristic
313	C₃	#13246	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
314	C₂	—	2	1	no	—
315	C₂	—	2	1	no	—
316	C₂	—	48	2	no	—
317	C₂	#69776	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#71455	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	#5115
commutator	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄
Frattini	C₂²×C₈	C₂²×D₃
Fitting	C₃×#2108	C₂
socle	C₂²×C₃	#466
prime radical	C₂²×D₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₃×C₈	C₂³
hypercenter	#2108	D₃
hypocenter	C₃	#13246
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₈ ▷ C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #405 ◁ #2108

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₃×#2108	C₂	semidirect
3. C₂×#4517	C₂	semidirect
5. C₂×#4506	C₂	semidirect
6. #69904	C₂	semidirect
23. C₂×#800	C₄	semidirect
33. #2108	D₃	semidirect
313. C₃	#13246	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#800	2
C₃×#2108	2
C₂×#4517	2
C₂×#4516	2
C₂×#4506	2
#69904	2
#69903	2
#13246	3