Subgroups — #10720407

Order 768.

1582 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₄⋊Dic₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₄⋊Dic₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71565	C₂	1	4	yes	maximal
5	#71564	C₂	1	4	yes	maximal
6	#71563	C₂	1	2	yes	maximal
7	#71563	C₂	1	2	yes	maximal
8	#14160	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂×C₃×#125	—	2	4	no	—
10	C₂×C₃×#125	—	2	4	no	—
11	C₂×C₃×#125	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
25	C₄×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
26	C₄×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
27	C₂²×#125	D₃	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
30	#1441	—	3	4	no	—
31	#1436	—	3	4	no	—
32	C₄⋊#95	—	3	2	no	—
33	C₄⋊#95	—	3	2	no	—
34	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
41	C₃×#125	—	2	32	no	—
42	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊Dic₃	Q₈	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×Dic₃	—	4	4	no	—
67	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
68	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
69	C₃⋊#95	—	2	16	no	—
70	C₃⋊#95	—	4	8	no	—
71	C₂×#125	—	2	4	no	—
72	C₂×#125	—	2	4	no	—
73	C₂×#125	Dic₃	1	8	yes	complemented
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
81	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
82	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
85	C₂×#95	—	3	8	no	—
86	C₂×#95	—	3	2	no	—
87	C₂×#95	—	3	2	no	—
88	C₂×#95	—	3	8	no	—
89	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
118	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
121	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
122	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
123	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
124	C₂²×Dic₃	#41	1	8	yes	—
125	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
126	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
130	C₄⋊Dic₃	—	2	16	no	—
131	C₄⋊Dic₃	—	2	16	no	—
132	C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
133	C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
134	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
140	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
141	#125	—	2	32	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	12	4	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
167	#95	—	6	16	no	—
168	#95	—	6	4	no	—
169	#95	—	6	4	no	—
170	#95	—	12	8	no	—
171	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
175	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
176	C₂³×C₃	C₂×#41	1	4	yes	—
177	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
178	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
179	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
199	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
200	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
201	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
202	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
203	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
204	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
205	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
206	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
207	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
208	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
209	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
210	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
211	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
212	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
213	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
214	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
237	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#239	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
255	C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
256	C₄²	—	12	8	no	—
257	C₄²	—	12	8	no	—
258	C₄²	#217	1	16	yes	—
259	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
261	C₂²×C₃	C₄×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₃	#520	1	2	yes	—
263	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₂²×C₃	#525	1	2	yes	—
265	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₃	#532	1	2	yes	—
268	C₂²×C₃	#535	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₃	#536	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₃	#537	1	2	yes	—
271	C₂²×C₃	#552	1	4	yes	—
272	C₂²×C₃	#553	1	4	yes	—
273	C₂²×C₃	#554	1	4	yes	—
274	C₂²×C₃	#557	1	4	yes	—
275	C₃×C₄	—	2	4	no	—
276	C₃×C₄	—	2	4	no	—
277	C₃×C₄	—	4	4	no	—
278	C₃×C₄	—	4	4	no	—
279	C₃×C₄	#391	1	8	yes	—
280	Dic₃	—	4	8	no	—
281	Dic₃	—	4	8	no	—
282	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×#239	1	2	yes	—
284	C₂³	D₃×#41	1	4	yes	—
285	C₂³	#1009	1	2	yes	—
286	C₂³	#1010	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	6	16	no	—
307	C₂×C₄	—	6	8	no	—
308	C₂×C₄	—	6	8	no	—
309	C₂×C₄	—	6	8	no	—
310	C₂×C₄	—	6	8	no	—
311	C₂×C₄	—	12	4	no	—
312	C₂×C₄	—	12	8	no	—
313	C₂×C₄	—	12	4	no	—
314	C₂×C₄	—	12	4	no	—
315	C₂×C₄	—	12	4	no	—
316	C₂×C₄	—	12	4	no	—
317	C₂×C₄	—	12	4	no	—
318	C₂×C₄	#944	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	Q₈×Dic₃	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	#946	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	#947	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
325	C₂×C₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₃	#2297	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₃	#2311	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₃	#2370	1	4	yes	—
329	C₂×C₃	#2562	1	2	yes	—
330	C₂×C₃	#2565	1	2	yes	—
331	C₂×C₃	#2566	1	2	yes	—
332	C₂×C₃	#2584	1	2	yes	—
333	C₂²	#5685	1	4	yes	—
334	C₂²	#5690	1	4	yes	—
335	C₂²	#5694	1	4	yes	—
336	C₂²	#5695	1	4	yes	—
337	C₂²	C₂×#944	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×Q₈×Dic₃	1	2	yes	—
339	C₂²	C₂×#946	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#947	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#5825	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	Dic₃×#41	1	2	yes	—
343	C₂²	#5827	1	2	yes	—
344	C₂²	#5828	1	2	yes	—
345	C₂²	#5830	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#5832	1	2	yes	—
347	C₂²	#5833	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	12	8	no	—
354	C₄	—	12	8	no	—
355	C₄	#5229	1	8	yes	—
356	C₃	#14160	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
357	C₂	#83025	1	4	yes	—
358	C₂	#83039	1	2	yes	—
359	C₂	#83040	1	2	yes	—
360	C₂	#83041	1	2	yes	—
361	C₂	#83063	1	2	yes	—
362	C₂	C₂×#5229	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#84086	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#84087	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×C₃×#125	C₂
socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#125	D₃
hypocenter	C₃	#14160
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#125

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₂×C₃×#125	C₄	semidirect
73. C₂×#125	Dic₃	semidirect
356. C₃	#14160	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×#125	2
C₂×C₄×C₄⋊Dic₃	2
#71565	2
#71564	2
#71563	2
#14160	3