Subgroups — #10720409

Order 768.

1798 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#869	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₄⋊Dic₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71563	C₂	1	4	yes	maximal
5	#71535	C₂	1	4	yes	maximal
6	#69424	C₂	1	4	yes	maximal
7	#14161	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂³×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#869	—	2	4	no	—
17	C₂×#869	—	2	4	no	—
18	C₂×#869	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₃×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
20	C₂×C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
23	C₄×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
24	C₂²×C₄⋊Q₈	—	3	1	no	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic
27	#1446	—	3	4	no	—
28	C₄⋊#95	—	3	4	no	—
29	C₄⋊#95	—	3	4	no	—
30	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×Dic₆	—	4	8	no	—
39	C₂²×Dic₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₃×C₄⋊C₄	Q₈	1	8	yes	complemented
43	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
44	C₂×C₃×C₄²	—	2	8	no	—
45	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄⋊Dic₃	Q₈	1	8	yes	complemented
57	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×Dic₃	—	2	8	no	—
59	#869	—	2	32	no	—
60	C₃×#95	—	2	4	no	—
61	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
62	C₃⋊#95	—	4	16	no	—
63	C₂³×Q₈	—	3	2	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	3	8	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	4	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	4	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
76	C₂×#95	—	3	2	no	—
77	C₂×#95	—	3	16	no	—
78	C₂×#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
79	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
99	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
100	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
101	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
102	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
103	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
104	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
105	C₂²×Dic₃	—	2	16	no	—
106	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
108	C₂×Dic₆	—	2	16	no	—
109	C₂×Dic₆	—	4	16	no	—
110	C₂×Dic₆	—	4	16	no	—
111	C₂×Dic₆	—	4	16	no	—
112	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
113	C₃×C₄²	—	4	8	no	—
114	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
115	C₄⋊Dic₃	—	2	16	no	—
116	C₄⋊Dic₃	—	2	16	no	—
117	C₄⋊Dic₃	—	2	16	no	—
118	C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
119	C₂²×Q₈	—	3	8	no	—
120	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	12	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
125	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
129	C₄⋊Q₈	—	6	32	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	Dic₆	1	8	yes	complemented
142	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	6	8	no	—
146	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	D₁₂	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
149	#95	—	2	4	no	—
150	#95	—	6	4	no	—
151	#95	—	12	16	no	—
152	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
159	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
160	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
165	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
168	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₃×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
172	C₂×C₃×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
173	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
174	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
175	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
176	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
177	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
178	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
179	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
180	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
181	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
182	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
183	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
184	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
185	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
186	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
187	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
188	Dic₆	—	4	32	no	—
189	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	6	16	no	—
191	C₂×Q₈	—	12	16	no	—
192	C₂×Q₈	—	12	16	no	—
193	C₂×Q₈	—	12	16	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	6	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#237	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
223	C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
224	C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
225	C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
226	C₄²	—	4	8	no	—
227	C₄²	—	12	8	no	—
228	C₄²	(C₂×D₃)⋊C₄	1	16	yes	—
229	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
232	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
233	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
234	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₃	#535	1	2	yes	—
240	C₂²×C₃	#535	1	2	yes	—
241	C₂²×C₃	#554	1	4	yes	—
242	C₂²×C₃	#554	1	4	yes	—
243	C₂²×C₃	#555	1	4	yes	—
244	C₂²×C₃	Q₈²	1	4	yes	—
245	C₃×C₄	—	2	4	no	—
246	C₃×C₄	—	4	8	no	—
247	C₃×C₄	#391	1	8	yes	—
248	C₃×C₄	#391	1	8	yes	—
249	Dic₃	—	4	8	no	—
250	Dic₃	—	4	8	no	—
251	C₂³	C₂²×Dic₆	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	C₂×#235	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂×#237	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	2	yes	—
257	C₂³	#1009	1	4	yes	—
258	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	12	32	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	16	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	6	8	no	—
269	C₂×C₄	—	6	16	no	—
270	C₂×C₄	—	6	8	no	—
271	C₂×C₄	—	6	16	no	—
272	C₂×C₄	—	12	4	no	—
273	C₂×C₄	—	12	8	no	—
274	C₂×C₄	—	12	4	no	—
275	C₂×C₄	—	12	8	no	—
276	C₂×C₄	—	12	8	no	—
277	C₂×C₄	C₄×Dic₆	1	8	yes	—
278	C₂×C₄	#869	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#875	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	#887	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	#897	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	#924	1	8	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	#936	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	#944	1	4	yes	—
288	C₂×C₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₃	#2369	1	4	yes	—
292	C₂×C₃	#2563	1	2	yes	—
293	C₂×C₃	#2563	1	2	yes	—
294	C₂×C₃	#2567	1	2	yes	—
295	C₂×C₃	#2567	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂×C₄×Dic₆	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#869	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×#875	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#887	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×#897	1	2	yes	—
301	C₂²	#5521	1	2	yes	—
302	C₂²	#5525	1	2	yes	—
303	C₂²	#5543	1	4	yes	—
304	C₂²	#5563	1	4	yes	—
305	C₂²	Q₈×Dic₆	1	4	yes	—
306	C₂²	#5579	1	4	yes	—
307	C₂²	C₂×#924	1	2	yes	—
308	C₂²	C₂²×(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#936	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#944	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#5830	1	2	yes	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	4	8	no	—
314	C₄	—	12	8	no	—
315	C₄	—	12	8	no	—
316	C₄	#4929	1	8	yes	—
317	C₄	#4973	1	8	yes	—
318	C₃	#14161	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
319	C₂	#73656	1	4	yes	—
320	C₂	#73721	1	2	yes	—
321	C₂	#73807	1	2	yes	—
322	C₂	C₂×#4929	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂×#4973	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#82269	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#82384	1	2	yes	—
326	C₂	#82478	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂
socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#14161
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. C₂×#869	C₄	semidirect
42. C₂×C₃×C₄⋊C₄	Q₈	semidirect
56. C₂×C₄⋊Dic₃	Q₈	semidirect
141. C₂×C₄⋊C₄	Dic₆	semidirect
318. C₃	#14161	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#869	2
C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₄⋊Dic₃	2
#71563	2
#71535	2
#69424	2
#14161	3