Subgroups — #10720434

Order 768.

1342 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4937	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#4932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71568	C₂	1	2	yes	maximal
5	#71567	C₂	1	2	yes	maximal
6	#71536	C₂	1	4	yes	maximal
7	#69406	C₂	1	4	yes	maximal
8	#14164	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
14	C₃×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
15	C₂×C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
25	#4937	C₄	1	8	yes	complemented
26	#4932	—	2	4	no	—
27	C₂×#383	—	3	1	no	—
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#376	—	3	1	no	—
30	#1444	—	3	2	no	—
31	#1442	—	3	2	no	—
32	#1436	—	3	4	no	—
33	#1436	—	3	4	no	—
34	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
43	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
44	C₂×C₃×C₄²	—	4	2	no	—
45	C₂×C₃×C₄²	—	4	2	no	—
46	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₃×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₂×Dic₃⋊C₄	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
55	C₃×#95	—	2	4	no	—
56	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
57	C₃⋊#95	—	2	2	no	—
58	C₃⋊#95	—	2	2	no	—
59	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
60	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
61	C₃⋊#95	—	4	4	no	—
62	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
70	#383	—	3	8	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	#376	—	6	4	no	—
73	C₂×#95	—	3	2	no	—
74	C₂×#95	—	3	2	no	—
75	C₂×#95	—	3	2	no	—
76	C₂×#95	—	3	4	no	—
77	C₂×#95	—	3	4	no	—
78	C₂×#95	—	3	2	no	—
79	C₂×#95	—	3	1	no	—
80	C₂×#95	—	3	1	no	—
81	C₂×#95	—	3	4	no	—
82	C₂×#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
83	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	#41	1	8	yes	—
105	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
107	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
108	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
109	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
110	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
112	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
118	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂²×Dic₃	#41	1	4	yes	—
121	C₂²×Dic₃	#41	1	4	yes	—
122	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
123	C₃×C₄²	—	4	8	no	—
124	C₃×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
125	Dic₃⋊C₄	—	4	16	no	—
126	C₄×Dic₃	—	2	16	no	—
127	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
129	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
145	C₂×C₄²	Dic₆	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
148	#95	—	2	4	no	—
149	#95	—	3	8	no	—
150	#95	—	3	8	no	—
151	#95	—	3	8	no	—
152	#95	—	6	8	no	—
153	#95	—	6	8	no	—
154	#95	—	6	4	no	—
155	#95	—	6	2	no	—
156	#95	—	6	2	no	—
157	#95	—	12	4	no	—
158	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₃	C₂×#41	1	4	yes	—
162	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
163	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
164	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
165	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
166	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
188	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
189	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
190	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
191	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
192	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
193	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
194	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
195	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
196	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
197	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
198	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
199	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
200	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
201	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
202	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
203	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
233	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#235	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	12	16	no	—
245	C₄²	—	4	8	no	—
246	C₄²	—	6	16	no	—
247	C₄²	Dic₃⋊C₄	1	16	yes	complemented
248	C₂²×C₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₃	C₄×#41	1	2	yes	—
250	C₂²×C₃	C₄×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₃	#520	1	2	yes	—
252	C₂²×C₃	#525	1	2	yes	—
253	C₂²×C₃	#525	1	2	yes	—
254	C₂²×C₃	#533	1	2	yes	—
255	C₂²×C₃	#533	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₃	#533	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₃	#535	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₃	#536	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	#544	1	2	yes	—
260	C₂²×C₃	#551	1	4	yes	—
261	C₂²×C₃	#552	1	4	yes	—
262	C₂²×C₃	#553	1	4	yes	—
263	C₂²×C₃	#556	1	4	yes	—
264	C₃×C₄	—	2	4	no	—
265	C₃×C₄	—	2	4	no	—
266	C₃×C₄	—	2	4	no	—
267	C₃×C₄	—	4	8	no	—
268	Dic₃	—	4	4	no	—
269	Dic₃	—	4	4	no	—
270	Dic₃	—	4	8	no	—
271	C₂³	C₂²×Dic₆	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	C₂×#235	1	4	yes	—
274	C₂³	#1004	1	2	yes	—
275	C₂³	#1007	1	2	yes	—
276	C₂³	D₃×#41	1	2	yes	—
277	C₂³	D₃×#41	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	6	8	no	—
298	C₂×C₄	—	6	8	no	—
299	C₂×C₄	—	6	8	no	—
300	C₂×C₄	—	6	8	no	—
301	C₂×C₄	—	6	4	no	—
302	C₂×C₄	—	6	4	no	—
303	C₂×C₄	—	6	8	no	—
304	C₂×C₄	—	12	2	no	—
305	C₂×C₄	—	12	2	no	—
306	C₂×C₄	—	12	4	no	—
307	C₂×C₄	—	12	4	no	—
308	C₂×C₄	—	12	2	no	—
309	C₂×C₄	—	12	4	no	—
310	C₂×C₄	—	12	2	no	—
311	C₂×C₄	—	12	4	no	—
312	C₂×C₄	—	12	4	no	—
313	C₂×C₄	—	12	4	no	—
314	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
317	C₂×C₃	#2296	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₃	#2296	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₃	#2317	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₃	#2373	1	4	yes	—
321	C₂×C₃	#2598	1	2	yes	—
322	C₂×C₃	#2599	1	2	yes	—
323	C₂×C₃	#2605	1	2	yes	—
324	C₂×C₃	#2606	1	2	yes	—
325	C₂²	#5470	1	2	yes	—
326	C₂²	C₄×#235	1	2	yes	—
327	C₂²	#5500	1	2	yes	—
328	C₂²	#5504	1	2	yes	—
329	C₂²	#5517	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#5517	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#5522	1	2	yes	—
332	C₂²	#5540	1	4	yes	—
333	C₂²	#5556	1	4	yes	—
334	C₂²	#5568	1	4	yes	—
335	C₂²	#5581	1	4	yes	—
336	C₂²	C₂²×Dic₃⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#5791	1	2	yes	—
338	C₂²	#5805	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#5816	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#5828	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	4	8	no	—
345	C₄	—	12	4	no	—
346	C₄	—	12	8	no	—
347	C₄	—	12	4	no	—
348	C₃	#14164	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
349	C₂	#73664	1	4	yes	—
350	C₂	#73743	1	2	yes	—
351	C₂	#73744	1	2	yes	—
352	C₂	#82069	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#82157	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#82226	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#82418	1	2	yes	—
356	C₂	#82502	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂
socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#14164
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
25. #4937	C₄	semidirect
124. C₃×C₄²	C₄⋊C₄	semidirect
247. C₄²	Dic₃⋊C₄	semidirect
348. C₃	#14164	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#4937	2
C₂×#4932	2
#71568	2
#71567	2
#71536	2
#69406	2
#14164	3