Subgroups — #10720441

Order 768.

1646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71547	C₂	1	4	yes	maximal
5	#71536	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#69406	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#14165	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#217	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#217	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₃×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
16	C₂×C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
17	#5211	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×#217	—	2	4	no	—
19	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#381	—	3	1	no	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic
28	#1439	—	3	4	no	—
29	#1436	—	3	4	no	—
30	#1436	—	3	4	no	—
31	C₂⁵×C₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₃×C₄	—	4	2	no	—
33	C₂³×C₃×C₄	—	4	2	no	—
34	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
44	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
45	C₂×C₃×C₄²	—	4	2	no	—
46	C₂×C₃×C₄²	—	4	2	no	—
47	C₂×#217	—	2	4	no	—
48	C₂×#217	—	2	8	no	—
49	C₂×#217	—	4	2	no	—
50	C₂×#217	—	4	2	no	—
51	C₂×#217	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
53	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
54	C₂×Dic₃⋊C₄	—	4	4	no	—
55	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×Dic₃	—	4	2	no	—
57	C₂×C₄×Dic₃	—	4	2	no	—
58	C₃×#95	—	2	4	no	—
59	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
60	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
61	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
62	C₃⋊#95	—	4	4	no	—
63	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂⁴×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	2	yes	—
72	#381	—	3	8	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
75	C₂×#95	—	3	2	no	—
76	C₂×#95	—	3	2	no	—
77	C₂×#95	—	3	4	no	—
78	C₂×#95	—	3	4	no	—
79	C₂×#95	—	3	2	no	—
80	C₂×#95	—	3	4	no	—
81	C₂×#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
82	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
83	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
84	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
85	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
86	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂⁴×C₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
102	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
105	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂²×C₃×C₄	#41	1	8	yes	—
112	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
118	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
121	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
122	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
123	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
124	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₂²×Dic₃	#41	1	8	yes	—
126	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₃×C₄²	—	4	8	no	—
128	#217	—	2	16	no	—
129	#217	—	4	8	no	—
130	Dic₃⋊C₄	—	4	16	no	—
131	C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
132	C₂⁵	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
134	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂³×C₄	Dic₆	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₄×D₃	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	#67	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	8	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	12	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	12	2	no	—
159	#95	—	2	4	no	—
160	#95	—	3	8	no	—
161	#95	—	3	8	no	—
162	#95	—	6	8	no	—
163	#95	—	6	8	no	—
164	#95	—	6	4	no	—
165	#95	—	12	4	no	—
166	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
167	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
168	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
169	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
170	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
171	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
172	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
173	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
174	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
175	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
176	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
177	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
178	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
179	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
180	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
181	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂³×C₃	C₂×#41	1	4	yes	—
185	C₂³×C₃	C₂×#41	1	4	yes	—
186	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
187	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
188	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
200	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
207	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
208	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
209	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
210	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
211	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
212	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
213	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
214	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
215	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
216	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
217	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
218	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
219	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	2	no	—
222	C₂⁴	—	2	2	no	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
226	C₂⁴	C₂×#67	1	2	yes	—
227	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
256	C₂²×C₄	Dic₃⋊C₄	1	16	yes	complemented
257	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	#235	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	12	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	6	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	12	8	no	—
268	C₄²	—	4	8	no	—
269	C₄²	—	12	8	no	—
270	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
274	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₃	C₄×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₃	C₄×#41	1	2	yes	—
280	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
281	C₂²×C₃	#525	1	2	yes	—
282	C₂²×C₃	#525	1	2	yes	—
283	C₂²×C₃	#533	1	2	yes	—
284	C₂²×C₃	#533	1	2	yes	—
285	C₂²×C₃	#534	1	2	yes	—
286	C₂²×C₃	#543	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₃	#543	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₃	#551	1	4	yes	—
289	C₂²×C₃	#553	1	4	yes	—
290	C₂²×C₃	#553	1	4	yes	—
291	C₂²×C₃	#559	1	4	yes	—
292	C₃×C₄	—	2	4	no	—
293	C₃×C₄	—	2	4	no	—
294	C₃×C₄	—	4	8	no	—
295	Dic₃	—	4	8	no	—
296	Dic₃	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
312	C₂³	C₂²×Dic₆	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₂×#235	1	4	yes	—
315	C₂³	#1004	1	2	yes	—
316	C₂³	#1004	1	2	yes	—
317	C₂³	D₃×#41	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	6	8	no	—
336	C₂×C₄	—	6	8	no	—
337	C₂×C₄	—	6	8	no	—
338	C₂×C₄	—	6	8	no	—
339	C₂×C₄	—	6	8	no	—
340	C₂×C₄	—	6	8	no	—
341	C₂×C₄	—	12	4	no	—
342	C₂×C₄	—	12	4	no	—
343	C₂×C₄	—	12	4	no	—
344	C₂×C₄	—	12	4	no	—
345	C₂×C₄	—	12	4	no	—
346	C₂×C₄	—	12	4	no	—
347	C₂×C₄	—	12	4	no	—
348	C₂×C₄	—	12	4	no	—
349	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
351	C₂×C₃	—	4	4	no	—
352	C₂×C₃	#2296	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₃	#2296	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₃	#2315	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₃	#2374	1	4	yes	—
356	C₂×C₃	#2600	1	4	yes	—
357	C₂×C₃	#2607	1	2	yes	—
358	C₂×C₃	#2608	1	2	yes	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	4	8	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	8	no	—
366	C₂²	#5470	1	2	yes	—
367	C₂²	C₄×#235	1	2	yes	—
368	C₂²	#5483	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#5483	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#5486	1	2	yes	—
371	C₂²	#5517	1	2	yes	—
372	C₂²	#5522	1	2	yes	—
373	C₂²	#5540	1	4	yes	—
374	C₂²	#5556	1	4	yes	—
375	C₂²	#5558	1	4	yes	—
376	C₂²	#5559	1	4	yes	—
377	C₂²	C₂²×Dic₃⋊C₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#5791	1	2	yes	—
379	C₂²	#5804	1	2	yes	—
380	C₂²	#5828	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	4	8	no	—
384	C₄	—	12	8	no	—
385	C₄	—	12	8	no	—
386	C₃	#14165	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
387	C₂	—	4	4	no	—
388	C₂	#73478	1	4	yes	—
389	C₂	#73553	1	2	yes	—
390	C₂	#73554	1	2	yes	—
391	C₂	#82069	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#82095	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#82226	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#82419	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₃×C₄×C₂²⋊C₄	C₂
socle, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
prime radical	C₂⁵×C₃	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#14165
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #71536	C₂	semidirect
6. #69406	C₂	semidirect
17. #5211	C₄	semidirect
104. C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	semidirect
256. C₂²×C₄	Dic₃⋊C₄	semidirect
386. C₃	#14165	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×C₄×C₂²⋊C₄	2
C₂×#5211	2
C₂×C₄×#217	2
#71547	2
#71536	2
#69406	2
#14165	3